Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 131 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

131
10 0 20
11 1 1 2 2 1 21
20 20 30
2 2 1 21 331
()() () (),
[ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )],
() (( )) (( )) (( )),
[()(()) (())] (()).
CIaKaDKa
CIaKa CIaDKa
C I ah DK ah DK ah
C I ah DK ah DK ah
λλ λ λ
σλλ λσ λλ λ
λλ λ λ
σλλ λ σ λ
+=
−= −
++ += +
+− + =− +
(3.1.1.11)
Примем
12
:, :rarah==+
.
Для решения системы удобно воспользоваться пакетом программ
аналитических преобразований Maple.
Определитель
3
∆
системы (3.1.1.11) равен
3 2 1 3 20 11 10 21 2
20 1 1 1 11 1 0 1 30 2 1 2 21 2 0 2
( )( )()()()()
[ ( )( ) ()( )][ ( )( ) ( )( )].
IrIrKrKr
I rK r IvrK r I rK r I rK r
σ
σσσλλλλ
σλ λ σ λσλ λ σλ λ
∆= − − +
++
(3.1.1.12)
При
20 1 1 1 11 1 0 1 2
2
323 2
[()() ()()]
,
() ()
IrKr IrKr
ah ah
σ
λλσλλσ
σ
σσ
λλ
+
→∆→ =∆
+
+
.
Здесь учтено, что
01 10
() () () () 1/
I
xK x I xK x x
+
=
.
При
12
σσ
→
получим похожий результат.
Если проводимость всех слоев одинакова и равна
σ
, то
2
20 1 1 1 11 1 0 1 2
3
2
[()() ()()]
()
()
IrKr IrKr
ah
aa h
σ
λλσλλσ
σ
λ
λ
+
∆= =
+
+
.
По правилу Крамера найдем все коэффициенты.
1. Скважине соответствует один коэффициент С
1
.
13021221202120111
21101 10111 2 30212 3
(){[ ()() ()()]( )()()
[ ()() ()()]( )()()}/.
C I rK r I rK r K rK r
IrKr IrKr KrKr
σλ λ σλ λ σσ λ λ
σλ λ σλ λσσ λ λ
=+ −+
+− ∆
(3.1.1.13)
При
32
σ
σ
→
1 1 220 11 1 3 1 2 0 11 1 2
() ( ) ()()/(( ))( )()()/C K rK r a h K rK r
λ
σσσ λ λ λ σσ λ λ
→− +∆=− ∆
.
Рис.3.5. Графики функции C
1
(
λ
) для различных сопротивлений обсадной
трубы.Сопротивления трубы изменяются по закону геометрической
прогрессии от 1 омм (на переднем плане) до 10
-8
омм (на заднем плане) со
знаменателем 0.1. 
                    C1 (λ ) I 0 (λ a) + K 0 (λ a ) = D2 K 0 (λ a),
                    
                    σ 1[C1 (λ ) I1 (λ a ) − K1 (λ a )] = σ 2[C2 (λ ) I1 (λ a ) − D2 K1 (λ a )],
                                                                                                                  (3.1.1.11)
                    C2 (λ ) I 0 (λ ( a + h)) + D2 K0 (λ (a + h)) = D3 K 0 (λ (a + h)),
                    σ [C (λ ) I (λ (a + h)) − D K (λ ( a + h))] = −σ D K (λ (a + h)).
                     2 2           1                  2 1                       3 3 1
Примем r1 := a, r2 := a + h .
      Для решения системы удобно воспользоваться пакетом программ
аналитических преобразований Maple.
Определитель ∆3 системы (3.1.1.11) равен
       ∆3 = (σ 2 − σ 1 )(σ 3 − σ 2 ) I 0 (λ r1 ) I1 (λ r1 ) K 0 (λ r2 ) K1 (λ r2 ) +
                                                                                                                        (3.1.1.12)
      [σ 2 I 0 (λ r1 ) K1 (λ r1 ) + σ 1I1 (vr1 ) K 0 (λ r1 )][σ 3 I 0 (λ r2 ) K1 (λ r2 ) + σ 2 I1 (λ r2 ) K 0 (λ r2 )].
                            [σ I (λ r ) K (λ r ) + σ 1I1 (λ r1 ) K 0 (λ r1 )]σ 2                    σ2
При σ 3 → σ 2 , ∆ 3 → 2 0 1 1 1                                                         = ∆2                 .
                                                    λ ( a + h)                                  λ ( a + h)
Здесь учтено, что
                                       I 0 ( x) K1 ( x) + I1 ( x) K 0 ( x) = 1/ x .
При σ 2 → σ 1 получим похожий результат.
Если проводимость всех слоев одинакова и равна σ , то
                           [σ 2 I 0 (λ r1 ) K1(λ r1 ) + σ 1I1(λ r1 ) K 0 (λ r1)]σ 2                 σ2
                   ∆3 =                                                                    = 2                  .
                                                    λ (a + h )                                λ a(a + h)
По правилу Крамера найдем все коэффициенты.
1. Скважине соответствует один коэффициент С1.
      C1 (λ ) = {[σ 3 I 0 (λ r2 ) K1 (λ r2 ) + σ 2 I1 (λ r2 ) K 0 (λ r2 )](σ1 − σ 2 ) K 0 (λ r1 ) K1 (λ r1 ) +
                                                                                                                        (3.1.1.13)
      [σ 2 I1 (λ r1 ) K 0 (λ r1 ) + σ 1I 0 (λ r1 ) K1 (λ r1 )](σ 2 − σ 3 ) K 0 (λ r2 ) K1 (λ r2 )}/ ∆3 .
При σ 3 → σ 2
      C1 (λ ) → (σ1 − σ 2 )σ 2 K 0 (λ r1 ) K1 (λ r1 ) /(λ ( a + h) ∆3 ) = (σ 1 − σ 2 ) K 0 (λ r1 ) K1 (λ r1 ) / ∆ 2 .




     Рис.3.5. Графики функции C1(λ) для различных сопротивлений обсадной
      трубы.Сопротивления трубы изменяются по закону геометрической
    прогрессии от 1 омм (на переднем плане) до 10-8 омм (на заднем плане) со
                               знаменателем 0.1.


                                                              131

Страницы