Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 141 стр.

3.1.7. Цилиндрически-слоистая среда в полупространстве

         В этом разделе мы будем исследовать модели обсаженной скважины бесконечной длины в поле
точечного источника постоянного тока и вертикального электрического диполя в нижнем полупространстве
(земле). Верхнее полупространство будем полагать заполненным непроводящей средой (воздухом).

    Для вычисления потенциалов и электрических полей в полупространстве
на границе раздела земля-воздух необходимо обеспечить равенство нулю
нормальной составляющей плотности тока:
                                                                  ∂U
                                    jz z =0 = σ Ez z =0 = σ                     =0
                                                    .             ∂z     z =0

Это    достигается    зеркальным    отражением     нижнего    проводящего
полупространства вместе с неоднородностями и источниками в верхнее
полупространство. В полученном таким образом полном пространстве
появляется дополнительный источник (точечный или дипольный). В согласии с
аддитивностью потенциальных полей поле в полупространстве есть сумма
полей всех источников.
    Точечный источник. Выше изложенное дает основание решения для
потенциала точечного источника в полупространстве представить в следующем
виде:
                                  F n ( r , z , zd ) = F ( r , z − zd ) + F ( r , z + zd )
где F n ( r , z, zd ) –поле в n-слойном цилиндрически-слоистом полупространстве и
F (r , z ± zd ) – поле в пространстве.
     В частности, в однородном полупространстве находим
     ∂U 1 (r , z , z d )        ∂U 0 (r , z − zd ) ∂U 0 (r , z + zd )        J ρ ( z − zd ) J ρ ( z + zd ) 
                              =                   +                    =                   +                = 0.
           ∂z                           ∂z                 ∂z           z =0  4π R−             4π R+3  z =0
                                                                                         3
                         z =0  
   Здесь
                                               R± = r 2 + ( z ± zd )2 .
      Электрический диполь. Применительно к диполю нужно учесть, что при
   зеркальном отображении отраженный диполь по отношению к основному
   имеет противоположное направление. Поэтому для дипольного источника в
   полупространстве потенциал и поля следует вычислять по формуле
                              Fdn (r , z, zd ) = Fd (r , z − zd ) − Fd (r , z + zd )




                                                          141