Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 144 стр.

               3.2. Переменное электромагнитное поле

      Рассмотрим поле вертикального электрического диполя в цилиндрически-
слоистой среде для той же модели среды, что и в разделе 3.1. Будем
использовать такие же обозначения и систему координат, как и в предыдущем
разделе. Диполь расположен на оси симметрии модели в точке S с
координатами (0,0,zd) цилиндрической системы координат, ось диполя
совпадает с направлением оси z. Решение задачи применительно к каротажу
скважин приведено в работе [Кауфман, 1965, Каринский, 1998].
      При сделанных предположениях относительно модели среды и источника
поля решение задачи сводится к отысканию одной скалярной функции -
компоненты Az вектор-потенциала A = (0,0, Az (r , z )) . Напомним (см. формулы
(1.2.16)-(1.2.19)), что в однородной среде, не содержащей источников
справедливы соотношения
                                      1                  1
           B = µ H = rotA, E = iω A +   grad divA, U = −   divA.         (3.2.1)
                                  µσ                 µσ
и (см.формулу (1.2.180)) в области, не содержащей источников поля,
                                    ∆ A − k 2A = 0 .                (3.2.2)
На границах разрыва свойств среды (при r = ri ) аналог условий сопряжения
(1.2.19) для компоненты Az могут быть представлены в следующем виде
                      1 ∂Az                1 ∂ 2 Az 
                             = 0, iω Az +            = 0.       (3.2.3)
                      µ ∂r               µσ ∂z 2 


3.2.1. Электрический диполь.
Далее будем использовать обозначения:
  • R = r 2 + ( z − zd ) – расстояние от источника поля до точки наблюдения,
                     2


   • I = Jdz – момент диполя, J – сила тока в диполе, dz – расстояние между
      полюсами диполя.
Сформулируем задачу. Нужно найти функцию Az (r , z ) , удовлетворяющую
следующим требованиям.
   1. Внутри каждого однородного цилиндрического слоя вне области,
      содержащей источники поля, удовлетворяет уравнению Гельмгольца
      (3.2.2),
   2. На границах цилиндрических слоев удовлетворяет условиям сопряжения
      (3.2.3),
   3. Удовлетворяет условиям излучения на бесконечности ( Az ( R) → 0, R → ∞ ),
   4. Стремится к решению задачи в однородном пространстве при
      неограниченном приближении к источнику (при R → 0 ):
                                                I µ e −kR
                         Az ( R) → Az( ) ( R) =
                                      0
                                                          .
                                                4π R

                                       144