Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 145 стр.

Фундаментальное решение уравнения Гельмгольца можно представить в
интегральном виде, если воспользоваться интегралом
                        ∞
                      2                          e−kR
                     π0 ∫ K 0 ( pr )cos λζ d λ =
                                                  R
                                                      , ζ = z − zd , p = k 2 + λ 2 , (3.2.4)

частным случаем которого является интеграл (3.1.1.2).
        Решение задачи. Учитывая четность потенциала относительно
переменной ζ , применим к задаче косинус-преобразование Фурье
Fc ( Az (⋅, ζ )) по этой переменной
                                                         ∞
                      Fc ( Az (r ,ζ )) := Az (r , λ ) = ∫ Az (r , ζ )cos(λς )dζ , r > 0,
                                                          0
Обратное преобразование Фурье запишем в следующем виде:
                                                 ∞
                                               2
               Az (r , ζ ) = Fc ( Az (r, λ )) = ∫ Az (r , λ )cos(λς )d λ .
                               −1
                                                              π   0
В результате этой операции в области изображений придем к задаче
                             
                              d 2 Az 1 dAz
                                   2
                                        +          − p 2 Az = 0, r > 0;
                              dr          r dr
                               1 dA                       −λ 2 ?   1 2 
                                       z
                                            =  0; iω A   +        Az  ≡     p Az  = 0;                 (3.2.5)
                                µ  dr   
                                                  
                                                   
                                                         z
                                                               µσ      
                                                                           µσ      
                              
                               ∂Az (r , λ )
                                                 = 0; Az (r , λ ) → 0, r → ∞.
                                  ∂ r
                                             r =0
Здесь учтено, что
                                           ∂ 2 A (r , λ ) 
                                      Fc        z          = −λ 2 Az (r , λ ) .
                                          
                                               ∂ζ 2       
                                                           
Примем
                                                             Jdz µ0 2
                                   Az (r , λ ) := qµ Z (r , λ ), q := .
                                                               4π π
Тогда для функции Z (r , λ ) получим задачу вида (3.2.5) с условиями сопряжения
                                 Z ′ = 0;  p 2 Z / σ  = 0.
                                                         
Общим решением обыкновенного дифференциального уравнения задачи (3.2.5)
является линейная комбинация функций Бесселя мнимого аргумента
                     Z (r , λ ) = C ( λ ) I0 ( pr ) + D ( λ ) K 0 ( pr ) .
     Первый слой (скважина). Компоненту Az1(r, z) в первом                                                   слое
представляют в виде суммы поля диполя в однородной среде
                              ∞
              Az1 (r , z ) = q ∫ µ1Z1( ) ( λ , r ) cos( z − zd )d λ , Z1( ) ( λ , r ) = K 0 ( p1r ) ,
                ( 0)                  0                                  0

                                      0
свойства которого совпадают со свойствами скважины, и вектор-потенциала
                        ∞
          A (r , z ) = q µ Z ( ) λ r cos( z − z )d λ , Z ( ) λ , r = C (λ ) I p r ,
                                          ( )                               (       )           (       )
                              1                           1
                              ∫0
            (1)
                z1                  1 1                       d         1               1   0       1


                                                         145