Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 66 стр.

      По сравнению с кажущимся сопротивлением функция R просто связана с
параметрами горизонтально-слоистого разреза и используется для
интерпретации данных ВЭЗ.
      В случае двухслойной среды можно получить выражение для кажущегося
сопротивления в виде ряда [Заборовский, 1963; Ваньян, 1965]. В этом частном
случае
                                        ρ              ∞      −2λ mh             ρ −ρ
                 R = cth(λ h + atcth 2 ) = 1 + ∑ k m e               1 , k := 2 1 .
                              1         ρ1           m=1 12               12 ρ + ρ
                                                                                   2 1
Выполняя почленное интегрирование ряда, получим
         ρ                                                  m e−2λ mh1  J ( λ r ) λ d λ =
           k = r 2 ∞ R J ( λ r ) λ d λ = r 2 ∞  1 + 2 ∞
                                                        ∑ k
         ρ1         ∫     1                  ∫
                    0                        0       m=1 12             1
                                                                         
                                                              −3/2
                                    ∞ m 2                2
                                 3
                         = 1 + 2r ∑ k  r + mh 
                                   m=1 12 
                                                  ( )    1 
                                                            
                                                                   .

Здесь использован интеграл Вебера-Липшица
 ∞ −λ z                       ∂∞                            ∂
         J ( λ r ) λ d λ = − ∫ e −λ z J ( λ r ) d λ = −
                                                                   1                r
  ∫e                                                                       =                , z ≥ 0.
          1                  ∂r 0          0               ∂r r 2 + z 2                 3/2
  0
                                                                           ( r 2 + z2)
     Основная трудность построения численных квадратур вычисления
интегралов, содержащих функции Бесселя, состоит в осциллирующем
характере   подынтегральной      функции.    Подынтегральное    выражение
представляет собой произведение двух функций, одна из которых меняется
медленно (это функции вида X, Z и их производных), второй сомножитель – это
функция Бесселя первого рода нулевого или первого порядка.

7. Поле погруженной линии АВ конечной длины, заземленной на концах.

      Будем считать, что электрический ток в кабеле изменяется гармонически,
синфазно во всех точках линии АВ. Общий метод решения этой задачи
предложен В.А.Фоком [Vock, 1933]. Решение задачи по методу В.А.Фока
приведено в монографии [Заборовский, 1960].
Приведем основные формулы этого решения, необходимые для выполнения
расчетов.
      Пусть кабель имеет вид гладкой дуги и расположен на поверхности земли
(на границе двух однородных полупространств, рис. 2.9). В соответствии с
правилом суперпозиции токовую линию можно рассматривать как
последовательность диполей, расположенных вдоль кабеля. Рассмотрим один
из диполей с моментом Jds, находящийся в точке с координатами (ξ,η,0) на
кабеле. Если поле рассчитывается в точке М с координатами (x,y,z), то
расстояние R между выделенным на кабеле элементом и точкой М равно
                         R = r 2 + z 2 , r 2 = ( x − ξ )2 + ( y − η )2 .


                                                66