Математическое моделирование в геоэлектрике. Часть I. Слоистые модели среды. Юдин В.М - 68 стр.

                                  ∞
                      (   0 1    ) 0 ( k 2 p + k 22pλ ) ( p
          Qα (r , z ) := k 2 − k 2 ∫
                                                 +p           )
                                                                  e
                                                                      − pα |z|
                                                                                 J
                                                                                     0(
                                                                                          λr ) dλ .
                                 0 1 1 0 0 1
Приведем явные выражения для функций Pα (r , z ) и Qα (r , z ) .
Вычисляя последний интеграл, находят
                                               2 2
                     2 1 + k0 R 2 3 + 3k0 R + k0 R −k0R
     P (r , z ) =               −z                  e      +
      0            2   2
                  k −k  R   3             R 5
                   1   0
                                                                                                      (2.1.2.31)
                        2   2  1 + k R 1 + k r − z k 2 −k 2 −k r 
                     + k −k z       0 +     0 e     0 1e 1 .
                        1   0                                     
                                  R3      r3                                        
Формула для функции P (r , z ) получается из P (r, z ) , если обменять местами
                                1                        0
величины k и k . Если принять k = 0 , то расчет функции P (r , z ) сведется к
          0        1                          0                            1
вычислению интеграла
                                      ∞ 2λ       −p z
                       P (r , z ) := ∫          e 1 J ( λ r ) d λ , z ≥ 0,
                        1                             0
                                      0 p0 + p1
который был ранее вычислен (см. (1.24)). Поэтому имеем
                                    2  ∂ 2 S ∂3Φ 2 ∂Φ 
                     P (r , z ) =             +    −k        .               (2.1.2.32)
                      1            k 2  ∂z 2 ∂z3 1 ∂z 
                                    1
Функция Qα (r , z ) при k0 = 0 соответственно равны
                                                           
                           2  k1R + z 1 + k1R − k1(r + z ) 
             Q (r , z ) ≈      
                                         +      e            0
                                                               , k =0,                                (2.1.2.33)
              0           k 2  R3         k r3
                           1               1               
                             ∞ 1         −p z                  2  ∂S ∂ 2Φ 
             Q (r , z ) = −2 ∫          e 1 J (λ r )d λ = −  +               .                       (2.1.2.34)
              1              0   λ + p        0              k 2  ∂z   2
                                                                       ∂z  
                                      1                        1

        Компоненты электрического поля в нижнем полупространстве.

      Согласно общей формулы
                                       E = iω A − gradU
имеем
                                            ∂U            1 ∂
                   E ( x, y, z ) = iω A − 1 = iω A +           divA ,
                    x1                 x1 ∂x        x1 µσ ∂x       1
                                            ∂U    1 ∂
                          E ( x, y, z ) = − 1 +         divA ,
                            y1               ∂y µσ ∂y       1
                                                   1 ∂
                           E ( x, y, z ) = iω A +       divA .
                             z1                z1 µσ ∂z     1



                                                 68