Введение в вейвлет-анализ. Юдин М.Н - 57 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

РГГРУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

57
Глава 5. О двумерных всплесках
До сих пор, рассказывая о различных конструкциях всплесков,
подразумевалось (а в формулах указывалось явно), что мы
находимся в одномерном пространстве, т.е. на прямой. Конечно же,
вейвлет-базисы обобщаются и на случаи больших размерностей, в
частности, на случай двух переменных. При этом возможны
различные варианты всплесков, равно как и различные варианты
построения кратно разрешающего анализа. O двух из них будет
рассказано более подробно.
5.2. Тензорное произведение
В простейшем случае для построения кратно разрешающего
анализа и всплесковых базисов в пространстве L
2
(R
n
) используется
так называемоетензорное произведение одномерной конструкции.
Ограничимся случаем n = 2. Предположим, что в L
2
(R) выбран
некоторый КРА с масштабирующей функцией
ϕ
и всплеском
ψ
.
Определим четыре функции двух переменных:
)()(),(),()(),(
),()(),(),()(),(
)3()2(
)1(
yxyxyxyx
yxyxyxyx
ψψϕψ
ψ
ϕ
ϕ
ϕ
=Ψ=Ψ
=
Ψ
=Φ
(5.1)
В результате получим одну масштабирующую функцию
),( yxΦ и
три вейвлета
),(
)(
yx
i
Ψ
i = 1,2,3. Графики двумерных всплесков
),(
)(
yx
i
Ψ
, изображены на рис. 5.1.
Оказывается, что эти четыре функции генерируют кратно
разрешающий анализ в L
2
(R
2
). А именно, если для каждого
Z
j ∈
обозначить через
V
j
подпространство в L
2
(R
2
), совпадающее с
замкнутой линейной оболочкой функций
)2()2(2),( lykxyx
jjjj
kl
−
−
=Φ
ϕ
ϕ
, k, l ∈ Z
то будт выполнены условия
)(},0{,
22
1
RLVVV
V
j
jjj
=
=
⊂
+
UI . (5.2)
Всплесковые подпространства
j
W определяются как ортогональные
дополнения
j
V до
1+j
V в )(
22
RL . При этом оказывается, что
010
VVW −= есть прямая сумма трех подпространств
)(
0
i
W = clos
)(
22
RL
span {
Ψ
(i)
(x – k ,y – l) | k, l
∈
Z}, (i=1,2,3, j = 0), 
              Глава 5. О двумерных всплесках
      До сих пор, рассказывая о различных конструкциях всплесков,
подразумевалось (а в формулах указывалось явно), что мы
находимся в одномерном пространстве, т.е. на прямой. Конечно же,
вейвлет-базисы обобщаются и на случаи больших размерностей, в
частности, на случай двух переменных. При этом возможны
различные варианты всплесков, равно как и различные варианты
построения кратно разрешающего анализа. O двух из них будет
рассказано более подробно.

                     5.2. Тензорное произведение
      В простейшем случае для построения кратно разрешающего
анализа и всплесковых базисов в пространстве L2(Rn) используется
так называемоетензорное произведение одномерной конструкции.
      Ограничимся случаем n = 2. Предположим, что в L2(R) выбран
некоторый КРА с масштабирующей функцией ϕ и всплеском ψ.
Определим четыре функции двух переменных:
           Φ ( x, y ) = ϕ ( x ) ϕ ( y ), Ψ (1) ( x, y ) = ϕ ( x )ψ ( y ),
           Ψ ( 2 ) ( x, y ) = ψ ( x ) ϕ ( y ), Ψ ( 3) ( x, y ) = ψ ( x )ψ ( y )
                                                        (5.1)
В результате получим одну масштабирующую функцию Φ ( x, y ) и
три вейвлета       Ψ ( i ) ( x, y )   i = 1,2,3. Графики двумерных всплесков
Ψ ( i ) ( x, y ) , изображены на рис. 5.1.
     Оказывается, что эти четыре функции генерируют кратно
разрешающий анализ в L2(R2). А именно, если для каждого j ∈ Z
обозначить через Vj подпространство в L2(R2), совпадающее с
замкнутой линейной оболочкой функций
         Φ klj ( x, y ) = 2 j ϕ ( 2 j x − k ) ϕ ( 2 j y − l ) , k, l ∈ Z
то будт выполнены условия
              V j ⊂ V j +1 , I V j = {0}, U V j = L2 ( R 2 ) .    (5.2)
Всплесковые подпространства W j определяются как ортогональные
                                    2   2
дополнения V j до V j +1 в L ( R ) . При этом оказывается, что
W0 = V1 − V0 есть прямая сумма трех подпространств
W0( i ) = clos span {Ψ(i)(x – k ,y – l) | k, l ∈ Z}, (i=1,2,3, j = 0),
             L2 ( R 2 )




                                                                                  57

Страницы