ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
45
Таким образом, каждое мнение b
j
(t) стремится к единому финальному мнению.
Следствие
Если орграф влияний социальной группы D сильно связный и содержит хотя бы
одну петлю, то арифметическое среднее начальных мнений достигается группой в
качестве единого финального мнения тогда и только тогда, когда матрица
A = || a
ij
|| стохастическая.
Доказательство
Матрица называется дважды стохастической, если все ее элементы
неотрицательны и суммы элементов каждой строки и каждого столбца равны
единице. Таким образом, стохастичность матрицы A = || a
ij
|| есть необходимое и
достаточное условие того, что матрица Р = || p
ij
|| дважды стохастическая. Легко
показать (упражнение 4. ), что стационарный вектор
w = (w
1
,…, w
n
) равен (1/n ,…, 1/n) тогда и только тогда, когда Р – дважды
стохастическая матрица.
В примере на рис. 4.3 стационарный стохастический вектор имеет вид
w = (3/5 , 2/5). Если вектор начальных мнений есть (10, 5), то финальным
групповым решением будет мнение w
1
b
1
(0) + w
2
b
2
(0) = 8.
Интересно отметить, что рассмотренная модель не использует
вероятностных соображений, тем не менее аппарат марковских цепей оказывается
полезным для ее исследования.
Упражнения
4.1 Производится многократное бросание неправильной монеты. Пусть
вероятность выпадения герба равна 1/3. Определяет ли последовательность
исходов цепь Маркова?
4.2 Известно, что находящаяся у власти партия имеет больше шансов победить на
выборах,
чем оппозиционные партии. Более того, если партия побеждала на
президентских выборах несколько раз подряд, то ее шансы на следующих
