ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5
В работе изложен кратко теоретический
материал по операционному исчислению: понятия
функций-оригиналов и функций-изображений,
свойства изображений, нахождение оригиналов
функций-изображений и наоборот, решение
дифференциальных уравнений и систем
дифференциальных уравнений операционным
методом. Приведены примеры решения задач по
всем вышеперечисленным темам, варианты
заданий для самостоятельной работы.
Ключевые слова: операционное исчисление,
функция-оригинал, функция-изображение,
свойства изображений, операционные методы,
нахождение оригиналов, дифференциальные
уравнения, системы дифференциальных
уравнений.
6
п.1. Основные понятия
Определение. Функцией-оригиналом называется
любая комплексная функция )(tf действительной
переменной t, определенная на всей числовой прямой и
удовлетворяющая условиям:
1.
0)(
=
tf при t<0,
2.
существуют постоянные М>0, S
0
∈R, такие, что
для всех t
tS
Metf
0
)( < ,
3.
на любом конечном отрезке [0, T] функция
)(tf может иметь лишь конечное число точек
разрыва, причем только первого рода.
Замечание. Число S
0
называется показателем роста
)(tf . Для ограниченных оригиналов можно принять S
0
=0.
Простейшей функцией-оригиналом является функция
Хевисайда:
<
≥
=
.0,0
0,1
)(
t
t
t
η
Очевидно, что показатель роста функции Хевисайда
равен нулю.
Определение. Изображением функции-оригинала )(tf
называют функцию комплексного переменного ibsp
+= ,
определяемую равенством:
.)()(
0
∫
+∞
−
= dtetfpf
pt
(1)
Теорема. Для любого оригинала
)(tf
изображение
)( pf определено в полуплоскости
0
Re Sp > , где S
0
–
