Предел функции. Непрерывность. Юмов И.Б - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

7
2. ex
x
x
x
x
x
=+=
+
→∞→
1
0
)1(lim
1
1lim .
Пример вычисления замечательных пределов с помощью
пакета Maple:
>limit(sin(x)/x,x=0);
1
>limit((1+1/x)^x,x=infinity);
exp(1)
Следствия из II замечательного предела:
1
)1ln(
lim
0
=
+
→
x
x
x
,
1
1
lim
0
=
−
→
x
e
x
x
.
Пример проверки с использованием Maple:
>limit(ln(1+x)/x,x=0);
1
>limit((exp(x)-1)/x,x=0);
1
Определение 3. Функция )(x
α
называется бесконечно малой
при
0
xx → (обозначается )1(o=
α
), если 0)(lim
0
=
→
x
xx
α
.
Определение 4. Бесконечно малые при
0
xx → функции )(x
α
и
)(x
β
называются эквивалентными (обозначается
β
α
~ ), если
1
)(
)(
lim
0
=
→
x
x
xx
β
α
.
Таблица эквивалентных бесконечно малых при 0→x функций:
xx ~sin ;
xe
x
~1− ;
x
x
~
tg
;
xxx
x
ln~1−
;
xx ~arcsin ;
xx
αβα
β
~1)1( −+ ;
8
x
x
~
arctg
;
n
x
x
n
~11 −+
;
2
~cos1
2
x
x− ;
a
x
x
a
ln
~)1(log + ;
xaa
x
ln~1− ;
xx ~)1ln(
+
.
III. Методы вычисления пределов
1. Функция преобразуется к виду, для которого предел легко
найти.
Пример 1.
(
)
0
)1(
1
lim
)1)(1(
1
lim
12
lim
1
2
1
3
2
1
=
+
−
=
+−
−
=
−
+−
→→→
xx
x
xxx
x
xx
xx
xxx
;
Пример решения с использованием Maple:
>limit((x^2-2*x+1)/(x^3-x),x=1);
0
Пример 2.
3
3cos3
3sin3
lim
3tg
lim
00
==
→→
xx
x
x
x
xx
.
Пример решения с использованием Maple:
>limit(tan(3*x)/x,x=0);
3
2.
В пределах, содержащих иррациональные выражения :
a)
вводят новую переменную для получения рационального
выражения.
Пример 3.

Страницы