ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
11
НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИИ В ТОЧКЕ. ТОЧКИ РАЗРЫВА
I. Исследование на непрерывность с помощью пакета
Maple
Для нахождения точек разрыва функции можно
воспользоваться следующей командой Maple:
readlib(singular): singular(<функция>,<переменная>);
где <функция> – исследуемая функция, <переменная> –
переменная, по которой необходимо найти разрывы. Параметр
<переменная> можно вообще не указывать. Тогда Maple выведет
на экран все возможные точки разрыва функции по всем
переменным, от которых она зависит. Приведем пример
нахождения точек разрыва:
readlib(singular): singular(2^(x/(9-x^2)),x);
Maple выведет на экран следующий набор точек:
{x=3}, {x=-3}.
II. Основные определения
Определение 1. Функция )(xfy = непрерывна в точке
0
x , если
предельное значение этой функции в точке
0
x существует и равно
частному значению )(
0
xf , или:
1)
функция )(xfy
=
определена в точке
0
x и некоторой ее
окрестности;
2) существует )(lim
0
xf
xx→
;
3) )()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
.
Определение 2. Точка
0
x
, в которой функция не обладает
свойством непрерывности, называется
точкой разрыва функции
)(xfy = .
Определение 3. Точка
0
x называется точкой устранимого
разрыва
, если )(lim
0
xf
xx→
существует, но функция не определена в точке
0
x или нарушено условие )()(lim
0
0
xfxf
xx
=
→
.
12
Определение 4. Точка
0
x называется точкой разрыва I рода,
если
)(lim
0
xf
xx→
не существует, но при этом существуют конечные
односторонние пределы
)(lim
0
0
xf
xx +→
и
)(lim
0
0
xf
xx −→
, неравные друг
другу.
Определение 5. Точка
0
x называется точкой разрыва II рода,
если хотя бы один из односторонних пределов )(lim
0
0
xf
xx +→
, )(lim
0
0
xf
xx −→
не существует или равен бесконечности.
III. Примеры исследования функций на непрерывность
Исследовать функцию на непрерывность, определить характер
разрыва.
Пример 1.
2
9
2)(
x
x
xf
−
= .
Функция не определена в точках
3
±
=
x
, уже нарушено первое
условие непрерывности, следовательно, в этих точках функция
испытывает разрыв.
Для выяснения характера разрыва нужно вычислить
односторонние пределы в точках 3
±
=
x .
∞===
∞
−
−
−
−−→
222lim
0
3
9
03
2
x
x
x
.
0222lim
0
3
9
03
2
===
∞−
−
−
+−→
x
x
x
.
Так как левый предел в точке
3
−
=
x
равен бесконечности, то в
ней разрыв II рода.
∞===
∞
−
−→
222lim
0
3
9
03
2
x
x
x
;
0222lim
0
3
9
03
2
===
∞−
−−
+→
x
x
x
.
Так как правый предел в точке 3
=
x равен бесконечности, то в
ней разрыв II рода.
Пример решения с использованием Maple:
> readlib(singular): singular(2^(x/(9-x^2)),x);
{x=3}, {x=-3}
