ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
казательную форму записи комплексного числа
α
j
e
A
А
⋅
=
.
Здесь:
А
+1
j
+
1
_
0
А’
А
,,
j
_
<0
>0
А
Рисунок 2
,,
_
1
3
2
() ()
22
АААА
′′
+
′
== – модуль ком-
плексного числа
А
;
A
A
arctgAarg
′
′
′
==
α
– аргумент ком-
плексного числа
А
;
(
)
АА Re
=
′
– действительная (реальная)
часть комплексного числа
А
;
(
)
АА Im
=
′
′
– коэффициент при мнимой
части комплексного числа
А
.
Модуль комплексного числа оп-
ределяет длину вектора, изображающе-
го это число, а аргумент – положение
вектора относительно оси действитель-
ных величин.
Два комплексных числа, у которых действительные части равны, а
мнимые отличаются только знаком, называются сопряженными (отрезки 1
и 3 на рисунке 2):
(
)
α
αα
j
eAsinjcosААjАА ⋅=+=
′′
+
′
= ,
()
α
αα
j
*
eAsinjcosААjАА
−
⋅=−=
′′
−
′
= .
(3)
Отрезок 2 (рисунок 2) может быть описан в комплексной форме сле-
дующим образом:
(
)
β
α
β
α
γ
jjjj
ee
A
e
A
е
А
⋅
⋅
=
⋅=⋅
+
.
(4)
Отсюда следует, что умножение комплексного числа на множитель
типа
β
j
e
±
равнозначно повороту отрезка (вектора) на комплексной плос-
кости на угол
β
± . Поэтому множитель
β
j
e
±
называется поворотным. В
частном случае, когда
2
π
β
= , т.е. когда поворот вектора осуществляется
на угол
2
π
± , из формулы Эйлера следует:
jsinjcosе
j
±=±=
±
22
2
ππ
π
.
(5)
Таким образом, умножение комплексного числа на множитель j
±
означает поворот соответствующего вектора на угол
2
π
± . Если аргумент
поворотного множителя сделать функцией времени, например,
t
⋅
=
ω
β
, то
вектор, будучи умноженным, на множитель вращения
tj
e
ω
, превратится во
вращающийся с угловой скоростью
ω
радиус-вектор, а выражение
5
казательную форму записи комплексного числа А = A ⋅ e jα .
Здесь:
+j А А = А = ( А′)2 + ( А′′)2 – модуль ком-
2 плексного числа А ;
,,
А α = arg A = arctg A′′ A′ – аргумент ком-
1
плексного числа А ;
>0 А′ = Re ( А ) – действительная (реальная)
_ часть комплексного числа А ;
1 0 А’ +1 А′′ = Im ( А ) – коэффициент при мнимой
<0
части комплексного числа А .
Модуль комплексного числа оп-
_ ,, 3 ределяет длину вектора, изображающе-
А го это число, а аргумент – положение
_j
вектора относительно оси действитель-
ных величин.
Рисунок 2
Два комплексных числа, у которых действительные части равны, а
мнимые отличаются только знаком, называются сопряженными (отрезки 1
и 3 на рисунке 2):
А = А′ + jА′′ = А(cos α + j sin α ) = A ⋅ e jα ,
* (3)
А = А′ − jА′′ = А(cos α − j sin α ) = A ⋅ e − jα .
Отрезок 2 (рисунок 2) может быть описан в комплексной форме сле-
дующим образом:
А ⋅ е jγ = A ⋅ e j (α + β ) = A ⋅ e jα ⋅ e jβ . (4)
Отсюда следует, что умножение комплексного числа на множитель
типа e ± jβ равнозначно повороту отрезка (вектора) на комплексной плос-
кости на угол ± β . Поэтому множитель e ± jβ называется поворотным. В
частном случае, когда β = π , т.е. когда поворот вектора осуществляется
2
на угол ± π , из формулы Эйлера следует:
2
± jπ
е 2 = cos π
± j sin π = ± j . (5)
2 2
Таким образом, умножение комплексного числа на множитель ± j
означает поворот соответствующего вектора на угол ± π . Если аргумент
2
поворотного множителя сделать функцией времени, например, β = ω ⋅ t , то
вектор, будучи умноженным, на множитель вращения e jωt , превратится во
вращающийся с угловой скоростью ω радиус-вектор, а выражение
5
