Расчет электрических цепей однофазного синусоидального тока. Усенков Н.И - 4 стр.

                                   А ⋅ е j (ωt +α ) = A ⋅ e jα ⋅ e jωt
называется комплексной функцией времени или комплексным мгновен-
ным значением и свидетельствует о том, что вектор А вращается вокруг
начала координат, начиная от исходного положения 1 (см. рисунок 2).
        Производная от комплексной функции времени
   d
  dt
       [             ]
       A ⋅ e j (ωt +α ) =
                           d
                           dt
                             [             ]
                              A ⋅ e jα ⋅ e jωt = jωA ⋅ e jα ⋅ e jωt = jωA ⋅ e j (ωt +α ) .     (6)
        Интеграл от комплексной функции времени
                                                    1                     1
 ∫  A ⋅ e j (ωt +α ) dt = A ⋅ e jα ⋅ e jωt dt =
                         ∫                            A ⋅ e jα ⋅ e jωt =    A ⋅ e j (ωt +α ) . (7)
                                                   jω                    jω
        Следовательно, дифференцирование и интегрирование функцией
времени в символической форме заменяют умножением или делением на
 jω исходных комплексных функций. Это обстоятельство позволяет алгеб-
раизировать интегро-дифференциальные уравнения и существенно упро-
стить расчеты.
        Если теперь изложенные математические основы символического
метода перевести на “электротехнический язык”, то применительно к на-
пряжению получим (рисунок 3):
        – комплексное напряжение
                            U = U m ⋅ e jψ ⋅ e jωt = U& m ⋅ e jωt ,                            (8)
                        jψ
где U& m = U m ⋅ e          – комплексная амплитуда напряжения (исходное поло-
     жение вектора на комплексной плоскости).
      – мгновенное значение напряжения
                 [               ]   [               ]      [               ]
        u = Im U& m ⋅ e jωt = Im U m ⋅ e jψ ⋅ e jωt = Im U m ⋅ e j (ωt +ψ ) =
                                                                                  (9)
         = Im[U m cos(ωt + ψ ) + jU m sin(ωt + ψ )] = U m sin(ωt + ψ )
      Таким образом, мгновенное синусоидальное напряжение (ток, ЭДС)
                                              являются мнимой частью Im ком-
      ,, +j                 Um e
                                 j t
                                              плексной функции времени (9). Сле-
    U                                         довательно, если имеем комплексное
                                              действующее напряжение (ток, ЭДС)
                                              и хотим получить выражение для
      ,,               t+                     мгновенного значения, то нужно
    U1                                Um
                   t                          предварительно заданный комплекс
                                              умножить на             2 (получим ком-
 _                                            плексную амплитуду), а затем умно-
   1 0                                 +1
         _j
                           U’      U’1        жить его на e jωt (получим комплекс-
                                              ную функцию времени) и взять от
         Рисунок 3                            полученного комплекса мнимую
                                              часть.
      Замечание – В электротехнике принято над комплексными ампли-


   6