ВУЗ:
Составители:
42
где коэффициенты разложения
вв
в
вв
π
2π
ω
ω
ω
ω
в
21
() () .
jn
jn
W
n
A
Xj e d Xj e d
W
ω
−
−
−ω −ω
=ωω=ωω
ω
∫∫
(7.4)
Сравнивая правые части выражений (7.2) и (7.4), замечаем, что
, )( 2)(
2
вв
nTxTnxA
n
−=
ω
π
−
ω
π
= (7.5)
где
в
πω .T
=
(7.6)
При этом спектральная характеристика (7.3) примет вид
∑∑
−∞=
−
−∞=
=−=ω
n
n
Tnj
n
n
Tnj
enTxTenTxTjX . )( )( )(
ωω
(7.7)
Подставляя (7.7) в (7.2), меняя порядок действия интегрирования и
суммирования и вычисляя интегралы, находим
в
в
ω
ωω
ω
1
() ( ) ω
2
jnT j t
n
xt T xnT e e d
∞
−
=−∞
−
==
π
∑
∫
∑
∫
∑
∞
−∞=
ω
ω−
∞
−∞=
−
−ω
−ω
π
=ω
π
=
nn
nTtj
nTt
nTt
nTx
T
denTx
T
в
в
.
)(
)(sin
)( )(
2
в
в
)(ω
С учетом (7.6) окончательно получим
∑
∞
−∞=
−ω
−ω
=
n
nTt
nTt
nTxtx .
)(
)(sin
)()(
в
в
(7.8)
На основании изложенного В. А. Котельниковым была сформули-
рована следующая
Теорема. Любую функцию )(
t
x
, содержащую гармонические со-
ставляющие с частотами от 0 до
в
ω , можно представить в виде ряда
(7.8) и, наоборот, любая функция, представленная формулой (7.8), со-
держит лишь гармонические составляющие с частотами от 0 до
в
ω .
Полученную формулу (7.8) можно рассматривать как разложение
сигнала
)(
t
x
по функциям
)(
)(sin
)(
в
в
nTt
nTt
t
n
−ω
−
ω
=ϕ , (7.9)
причем в качестве коэффициентов ряда выступают значения сигнала
)(
t
x
в дискретные моменты времени ),(,
∞
−
∞
∈
=
nnTt
n
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 40
- 41
- 42
- 43
- 44
- …
- следующая ›
- последняя »
