Исследование систем управления методами имитационного моделирования. Варжапетян А.Г. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

18
Для получения верхней границы пропускной способности канала
обычно полагают, что распределение длительностей обслуживания является
экспоненциальным:
G (t) =
μ
e
-
μ
t
при t ≥ 0, 2.6
при этом вероятность завершения обслуживания в интервале (t +
Δ
t) не
зависит от того, сколько времени уже потрачено на обслуживание этой
заявки (пример системы, не обладающей памятью). Таким образом, если в
момент t заявка уже обслуживалась, то в силу (2.6) в момент t +
Δ
t
вероятность того, что в этом интервале обслуживание не заканчивается:
P (t +
Δ
t)
≈
e
-
μ
tΔ
. 2.7
Следовательно, при очень малых
Δ
t, вероятность того, что обслуживание в
рассматриваемом интервале не заканчивается равна:
P ( t +
Δ t ) ≈ 1 - tΔ
μ
, 2.8
а что заканчивается
P ( t +
Δ t ) t
Δ
≈
μ
. 2.9
Рассмотрим пример, в котором имеется возможность аналитического
определения показателей эффективности функционирования СМО (М/М/1).
Пусть процесс обслуживания начинается при отсутствии заявок в
накопителе, тогда состояние СМО описывается следующей системой
уравнений:
ttPttPttP
nttPtPttPttP
nnnn
Δ+Δ−=Δ+
≥
Δ
+
Δ
+
Δ
+−=Δ+
+−
μλ
μ
λ
μ
λ
)()1)(()(
,1,)()()(1)(()(
100
11
2.10
где Р
n
(t) - вероятность нахождения системы в состоянии Xtx
n
∈
)( в
момент t, т.е. когда в ней находятся n заявок.
Вероятность нахождения в системе n заявок в момент времени (t +
Δ
t)
равна сумме трех вероятностей:
1) вероятности нахождения в системе n заявок в момент t, умноженной на
вероятность того, что за время
Δ
t в систему не поступает ни одной заявки и ни
одна заявил не будет обслужена;
2) вероятности нахождения в системе (n - 1) заявки в момент t, умноженной на
вероятность поступления одной заявки за время
Δ
t, и ни одна заявка не будет
обслужена;
3) вероятности нахождения в системе (n + 1) заявки в момент t, умноженной на
вероятность ухода одной заявки, при условии не поступления ни одной заявки.
Заметим что,
)(1)1)(1( totttt
Δ
+
Δ
−
Δ
−
=Δ−Δ−
μ
λ
μ
λ
)()1(),()1( tottttottt
Δ
+
Δ
=
Δ
−
Δ
Δ+Δ=Δ−Δ
μ
μ
μ
2.11
Образуя разностное уравнение и переходя к пределу, получаем
дифференциальные уравнения:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
+−=
≥+++−=
+−
)()(
)(
1),()()()(
)(
10
0
11
tPtP
dt
tdP
ttPtPtP
dt
tdP
nnn
n
μλ
μλμλ
2.12

Страницы