ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Бикубические поверхности задаются кубическими уравнениями от двух переменных
s
и
t
. Изменяя оба параметра от 0
до 1, можно определить все точки на куске поверхности. Если одному из параметров присвоить постоянное значение, а дру-
гой – изменять в диапазоне от 0 до 1, то в результате получим кубическую кривую. Для удобства мы будем рассматривать
только уравнение для
x
:
x
(
s
,
t
) =
a
11
s
3
t
3
+
a
12
s
3
t
2
+
a
13
s
3
t
+
a
14
s
3
+
a
21
s
2
t
3
+
a
22
s
2
t
2
+
a
23
s
2
t
+
a
24
s
2
+
+
a
31
st
3
+
a
32
st
2
+
a
33
st
+
a
34
s
+
a
41
t
3
+
a
42
t
2
+
a
43
t
+
a
44
.
Запишем в более удобной форме
x
(
s
,
t
) =
SC
x
T
Т
,
где
S
= [
s
3
s
2
s
1];
T
= [
t
3
t
2
t
1], а
T
T
– транспонированная матрица
T
.
Подобная запись называется алгебраической формой представления, так как
C
X
задаёт коэффициенты бикубического
многочлена. Существуют также и
C
Y
и
C
Z
, которые определяют коэффициенты
y
(
s
,
t
) и
z
(
s
,
t
).
Рассмотрим представление поверхностей в форме Эрмита. К поверхностям в форме Эрмита наиболее удобно предло-
жить подход, который позволил бы использовать управляющие точки и касательные векторы для определения коэффициен-
тов бикубического многочлена.
Заменим в уравнении кубической кривой Эрмита
T
на
S
:
x
(
s
) =
SM
h
G
hx
.
Перепишем это уравнение так, чтобы геометрическая матрица Эрмита была не константой, а функцией
t
:
x
hhxh
tR
tR
tP
tP
SMtGSMtsx
==
)(
)(
)(
)(
)(),(
4
1
4
1
. (10.1)
Функции
P
1
x
(
t
) и
P
4
x
(
t
) описывают
x
-компоненты начальной и конечной точек кривой, задаваемой параметром
s
. Для
каждого значения
t
определяются некоторые две конечные точки. Аналогично
R
1
x
(
t
) и
R
4
x
(
t
) описывают касательные векторы
в конечных точках кубической кривой, построенной в зависимости от
s
. На рисунке 10.1 показаны кривые
P
1
(
t
) и
P
4
(
t
), а так-
же кубические кривые, для которых
t
= 0, 0,2, 0,4, 0,8, и 1,0. Фрагмент поверхности можно представить как фигуру, постро-
енную путём интерполяции между кривыми
P
1
(
t
) и
P
4
(
t
), при этом касательный вектор в начальной точке будет
R
1
(
t
), а в ко-
нечной –
R
4
(
t
). В том случае, если интерполируемые линии являются прямыми, получается линейчатая поверхность. Если к
тому же кривые
P
1
(
t
) и
P
4
(
t
) лежат в одной плоскости, то линейчатая поверхность будет плоской, а кусок поверхности оказы-
вается четырёхсторонним многоугольником.
Рис. 10.1. Кривые постоянного значения параметра на бикубической поверхности:
P
1
(
t
) при
s
= 0,
P
4
(
t
) при
s
= 1
Пусть теперь каждая из кривых
P
1
(
t
),
P
4
(
t
),
R
1
(
t
) и
R
4
(
t
) представлена кубическим многочленом в форме Эрмита:
x
hx
q
q
q
q
TMtP
=
14
13
12
11
1
)( ;
x
hx
q
q
q
q
TMtP
=
24
23
22
21
4
)( ;
x
hx
q
q
q
q
TMtR
=
34
33
32
31
1
)( ;
x
hx
q
q
q
q
TMtR
=
44
43
42
41
4
)( .
Четыре кубических многочлена можно представить в виде вектор строки
P
1
(
t
)
P
4
(
t
)
t
= 0
t
s
t
= 0,8
t
= 1,0
t
= 0,6
t
= 0,4
t
= 0,2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 34
- 35
- 36
- 37
- 38
- …
- следующая ›
- последняя »
