Введение в спектроскопию диэлектриков. Часть I. Васильев А.Н - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

ðàññìàòðèâàåìûé ýëåêòðîí (ïðè ýòîì ïðåíåáðåãàåì âñåìè
êîððåëÿöèîííûìè è îáìåííûìè ýôôåêòàìè).
 ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïåðåêðûâàíè
-
åì âîëíîâûõ ôóíêöèé, îòíîñÿùèõñÿ ê ðàçíûì óçëàì ðåøåò
-
êè, íàõîäÿùèìñÿ â òî÷êàõ
n
,
¢
n
:
jj dd
ab ab
*
¢
--
¢
=
ò
()( )rn rn
nn
dr
3
,
ãäå
n
è
¢
n
îïðåäåëåíû â (4.3). Ôóíêöèþ ïåðâîãî ïðèáëèæå
-
íèÿ, óäîâëåòâîðÿþùóþ òåîðåìå Áëîõà, ìîæíî èñêàòü â âèäå
yj
a
a
k
kn
n
rn=-
-
å
Ne
i12
()
,
ãäå
N
— ÷èñëî àòîìîâ â êðèñòàëëå (äëÿ ïðîñòîòû êðèñòàëë
ïðåäïîëàãàåòñÿ îäíîàòîìíûì). Ãàìèëüòîíèàí ýëåêòðîíà â
êðèñòàëëå îòëè÷àåòñÿ îò ãàìèëüòîíèàíà îäíîãî àòîìà íàëè÷è-
åì ïîòåíöèàëüíûõ ýíåðãèé îò ñîñåäíèõ àòîìîâ:
$
()H =- Ñ + +
å
h
2
2
2m
w rn
n
.
Ïðè ýòîì ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè èìååò âèä
Ee wdr
i
aa a a
ej j() ( ) ( ) ()krnrmr
kn
m0n
=+ + -
*
¹
å
ò
å
3
.
×àñòî ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ïðèáëèæåíèåì áëèæàéøèõ ñîñå-
äåé, òî åñòü îãðàíè÷èòü ñóììèðîâàíèå ïî
n
òîëüêî ïåðâîé êî-
îðäèíàöèîííîé ñôåðîé (â òî æå âðåìÿ â ñóììå ïî
m
ìîæíî îñ
-
òàâèòü âñå ÷ëåíû, ïîñêîëüêó ïîòåíöèàë
w()r
, èìåþùèé íà
áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ äàëüíîäåéñòâóþùèé õàðàêòåð, ñïàäàåò
ñóùåñòâåííî ìåäëåííåå, ÷åì àòîìíûå âîëíîâûå ôóíêöèè
j
a
()r
).  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ïðîñòîé êóáè÷åñêîé ðåøåòêè çàêîí
äèñïåðñèè èìååò ñëåäóþùèé âèä:
E wwkakaka
ax y zaa
e( ) [cos cos cos ]k =-- + +
0
2
, (4.5)
ãäå
wwdr
0
3
0=- - >
*
¹
å
ò
jj
aa
() ( ) ()rrmr
m0
,
wwdr
a
=- + -
*
¹
å
ò
jj
aa
() ( )()ra rm r
m0
3
.
72
ðàññìàòðèâàåìûé ýëåêòðîí (ïðè ýòîì ïðåíåáðåãàåì âñåìè
êîððåëÿöèîííûìè è îáìåííûìè ýôôåêòàìè).
     ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ïåðåêðûâàíè-
åì âîëíîâûõ ôóíêöèé, îòíîñÿùèõñÿ ê ðàçíûì óçëàì ðåøåò-
êè, íàõîäÿùèìñÿ â òî÷êàõ n, n¢:
         *
      ò j a (r - n) jb (r - n¢) d
                                    3
                                        r = d ab d nn¢ ,

ãäå n è n¢ îïðåäåëåíû â (4.3). Ôóíêöèþ ïåðâîãî ïðèáëèæå-
íèÿ, óäîâëåòâîðÿþùóþ òåîðåìå Áëîõà, ìîæíî èñêàòü â âèäå
      y ka = N - 1 2 å e ikn j a (r - n) ,
                     n

ãäå N — ÷èñëî àòîìîâ â êðèñòàëëå (äëÿ ïðîñòîòû êðèñòàëë
ïðåäïîëàãàåòñÿ îäíîàòîìíûì). Ãàìèëüòîíèàí ýëåêòðîíà â
êðèñòàëëå îòëè÷àåòñÿ îò ãàìèëüòîíèàíà îäíîãî àòîìà íàëè÷è-
åì ïîòåíöèàëüíûõ ýíåðãèé îò ñîñåäíèõ àòîìîâ:
               2
             h
      H$ = -    Ñ 2 + å w(r + n) .
             2m       n

Ïðè ýòîì ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà â ïåðâîì ïðèáëèæåíèè èìååò âèä
      E a (k) = e a + å e ikn ò j *a (r + n) å w(r - m) j a (r) d 3 r .
                         n                       m¹0

×àñòî ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ïðèáëèæåíèåì áëèæàéøèõ ñîñå-
äåé, òî åñòü îãðàíè÷èòü ñóììèðîâàíèå ïî n òîëüêî ïåðâîé êî-
îðäèíàöèîííîé ñôåðîé (â òî æå âðåìÿ â ñóììå ïî m ìîæíî îñ-
òàâèòü âñå ÷ëåíû, ïîñêîëüêó ïîòåíöèàë w(r), èìåþùèé íà
áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ äàëüíîäåéñòâóþùèé õàðàêòåð, ñïàäàåò
ñóùåñòâåííî ìåäëåííåå, ÷åì àòîìíûå âîëíîâûå ôóíêöèè
j a (r)).  ýòîì ñëó÷àå äëÿ ïðîñòîé êóáè÷åñêîé ðåøåòêè çàêîí
äèñïåðñèè èìååò ñëåäóþùèé âèä:
      E a (k) = e a - w0 - 2wa [cos k x a + cos k y a + cos k z a] , (4.5)
ãäå
      w0 = -ò j *a (r) å w(r - m) j a (r) d 3 r > 0 ,
                      m¹0

      wa = -ò j *a (r + a) å w(r - m) j a (r) d 3 r .
                             m¹0


                                          72

Страницы