Применение функций нескольких переменных в теории поля. Васильева О.А - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

и из формулы (2) запишем
(
)
0
( ) 0, 0, 2 2vM k==grad
.
Если
ϕ
– угол между градиентами, то воспользовавшись формулой
()
00
00
(), ()
cos
() ()
uM vM
uM vM
ϕ
=
⋅
grad grad
grad grad
,
получим
002
cos 1
14
ϕ
+
+
==
⋅
.
Следовательно,
0
ϕ
=
D
.
Задача № 4.
Найдите
(
)
0
div uMgrad и
(
)
0
uMrot grad , если
22
42uxy z=+−;
(
)
0
2, 1, 0M .
(см. задачу № 1).
Решение.
Напомним, что (см. решение задачи № 1)
2
u
x
y
x
∂
=
∂
;
2
2
ux
y
y
∂
=
∂
;
2
2
42
uz
z
z
∂
=−
∂
−
;
2
2
2
2
2
42
xz
uxyi j
y
z
=⋅+⋅−
−
grad k⋅
.
Для векторного поля
(
)
(
)
(
)
,, ,, ,,a Pxyzi Qxyzj Rxyzk=++
дивергенция
равна
div
PQR
a
x
yz
∂∂∂
=++
∂∂∂
.
Для вектора
u
rad имеем
2Px= y
;
2
2
x
Q
y
= ;
2
2
42
z
R
z
=−
−
.
Тогда
2
P
y
x
∂
=
∂
;
2
3
4
Qx
y
y
∂
=−
∂
;
23
8
(4 2 )
Rz
z
z
∂
=−
∂
−
;
и
2
32
8
d iv 2
4(42
x
uy
yz
=− −
−
grad
3
)
.
Подставим значения координат точки
0
M
в последнюю формулу и получим,
что в точке
0
M
(
)
0
div 0uM
=
grad .
17

Страницы