Применение функций нескольких переменных в теории поля. Васильева О.А - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

Из свойств градиента наибольшая скорость возрастания поля в точке
0
M
равна
0
max 0
99 32
() 0
44 2
M
vuM==++=grad , а
направление наибыстрейшего возрастания поля определяется единичным век-
тором градиента скалярного поля в точке
0
M
:
0
0
0
() 1 1
()
|()|
22
uM
ni
uM
uM
==+
grad
grad
grad
j
.
Задача № 3.
Найдите угол между нормалями к поверхностям уровня полей
22
uxyz=++
2
и
в точке
222
ln( )vxyz=++
(
)
0
0, 0, 1M , если нормали направлены в сторону
возрастания функций этих полей.
Решение.
Поскольку нормали, описанные в условии задачи, соответствуют градиен-
там указанных скалярных полей, найдём
(
)
0
uMgrad и
(
)
0
vMgrad .
Вычислим частные производные и их значения в точке
0
M
.
22
ux
x
2
x
yz
∂
=
∂
++
;
0
0
M
u
x
∂
=
∂
;
22
uy
y
2
x
yz
∂
=
∂
++
;
0
0
M
u
y
∂
=
∂
;
22
uz
z
2
x
yz
∂
=
∂
++
;
0
1
M
u
z
∂
=
∂
,
Получим исходя из формулы (2):
(
)
0
( ) 0, 0, 1uM k
=
=grad
.
22
2vx
2
x
xyz
∂
=
∂++
;
0
0
M
v
x
∂
=
∂
;
22
2vy
yx y z
∂
=
∂++
2
;
0
0
M
v
y
∂
=
∂
;
22
2vz
zx y z
∂
=
∂++
2
;
0
2
M
v
z
∂
=
∂
16

Страницы