Применение функций нескольких переменных в теории поля. Васильева О.А - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

4. Примеры решения задач
Задача № 1.
Найдите производную скалярного поля
22
42ux y z=+−
точке
(
)
0
2, 1, 0M
по направлению к точке
(
)
1
4, 2, 2M
. Определите характер изменения поля в
точке
0
M
.
Решение.
Воспользуемся формулой вычисления производной по направлению:
00 0
0
cos cos cos
MM M
M
uu u u
lx y z
α
β
∂∂ ∂ ∂
=⋅+⋅+⋅
∂∂ ∂ ∂
γ
. (4)
Частные производные и их значения в точке
0
M
соответственно равны:
2
u
x
y
x
∂
=
∂
;
0
4
M
u
x
∂
=
∂
;
2
2
ux
y
y
∂
=
∂
;
0
2
M
u
y
∂
=
∂
; (5)
2
2
42
uz
z
z
∂−
=
∂
−
;
0
0
M
u
z
∂
=
∂
.
Направляющие косинусы направления
01
lMM=
находим как координаты еди-
ничного вектора
0
l
. Для этого вычислим координаты вектора
01
M
M
:
01
MM =
(2; 1; 2) и его длину
0
1
M
M
=
414 3l
++ =
.
Единичный вектор направления
l равен
01
0
01
M
M
l
M
M
=
и, следовательно,
0
212
,,
333
l
⎛⎞
=
⎜⎟
⎝⎠
.
Направляющие косинусы этого направления равны
2
cos
3
α
= ;
1
cos
3
β
=
;
2
cos
3
γ
=
. (6)
Подставим найденные значения из (5) и (6) в формулу (4):
14

Страницы