Физика межпланетного и околоземного пространства. Веселовский И.С - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Функция Лагранжа
2 2 2
1 / .
e
L mc v c
c
Av
В сферических
координатах
, ,
r
скорость равна
1/ 2
2 2 2 2 2 2
v r r r

Вектор-потенциал дипольного поля имеет только одну компоненту,
2
sin
0, 0, .
r
A A В результате
1/ 2
2 2 2 2 2 2 2
2
2
1
, , , , , , 1 sin
sin
.
L r r t mc r r r
c
e
c r

Найдем обобщенные импульсы, канонически сопряженные
координатам
, ,
r
:
2
2
,
1
r
L m r
p
v
r
c
2
2
2
,
1
L mr
p
v
c
2 2 2
2
2
sin sin
,
1
L mr e
p
c r
v
c
Функция Лагранжа не зависит явно от времени, следовательно,
сохраняется энергия
2 2 2
( , ) / 1 /
i i i
i
i
H p q L q q mc v c
.
Координата
– циклическая, поэтому сохраняется сопряженный ей
обобщенный импульс
p
(согласно уравнениям движения,
i
i
dp L
dt q
).
37
                                                                                                   e
Функция Лагранжа             L   mc
                                          2
                                                      1 v / c 
                                                                   2               2
                                                                                                        Av  .   В сферических
                                                                                                   c
                 r, ,     скорость равна v  r  r   r sin                                                                    
                                                   2   2 2    2   2    2                                                                   1/ 2
координатах                                                                                                                                        .
Вектор-потенциал дипольного поля имеет только одну компоненту,
              sin  
A  A  0, 0,          . В результате
               r
                  2
                      
                                                                                                                              1/ 2
                                             2   1 2                     2 

                                                c
                                                                 2   2
                                                                       
      L  r ,  ,  , r, ,  , t    mc 1  2 r  r   r sin 
                                                          2 2

                                                                                                                       
          e sin 
                2

                  .
          c r
Найдем    обобщенные                импульсы,                                      канонически                         сопряженные
координатам  r ,  ,   :
                                                                                   

                                          L                           mr
                                   pr            
                                                                                                  ,
                                                                                           2
                                          r                                           v
                                                                   1                      2
                                                                                       c
                                                                                       

                                          L                       mr 
                                                                               2

                                   p            
                                                                                                  ,
                                                                                           2
                                                                                     v
                                                                   1                      2
                                                                                       c
                                                                           

                             L         mr sin                                           e sin 
                                              2            2                                              2

                      p      
                                                                                                            ,
                                                           v
                                                               2
                                                                                               c         r
                                                1           2
                                                           c

Функция Лагранжа не зависит явно от времени, следовательно,
сохраняется          энергия            H            pq              i       i
                                                                                        L ( qi , qi )  mc / 1  v / c .
                                                                                                                   2                 2         2


                                                       i

Координата  – циклическая, поэтому сохраняется сопряженный ей
                                                                                                                        dpi              L
обобщенный импульс p (согласно уравнениям движения,                                                                                              ).
                                                                                                                         dt              qi



                                                      37

Страницы