Физика межпланетного и околоземного пространства. Веселовский И.С - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГУ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

0
H H p
p
. В результате
0
.
p E p d
dq
E t dt
Отсюда
inv
.
dpdq I
Таким образом, действие
I
оказывается
приближенным инвариантом для финитного движения при медленных
изменениях параметров системы. Поскольку
,
I Edt
то отсюда, в
частности, следует, что всякие медленные изменения периода
T
движения приводят к изменениям энергии,
const
.
ET
Можно показать, что точность сохранения адиабатических
инвариантов (в одномерном движении) экспоненциальная,
1/
e
при
аналитической зависимости
,
H
и степенная,
,
n
если разрывна
производная
/ .
n n
H
Из сказанного ясно, что для ларморовского движения
заряженной частицы в достаточно медленно меняющемся поле
,
t
B r
адиабатическим инвариантом будет величина
H
I p r
, где
p mv
– поперечный импульс частицы,
1/ 2
2 2
1 /v c
– релятивистский
фактор,
/ /
H H
r v p c eB
– ларморовский радиус, /
H
eB mc
– ларморовская частота. С точностью до постоянных множителей
2
/
I p B
совпадает с магнитным моментом ларморовского кружка
2
.
2
p
mB
( 5.1 )
В дальнейшем будем обозначать
E
дипольный магнитный момент
Земли, а
– магнитный момент частицы. Требуемая медленность
изменения магнитного поля
B
сводится к выполнению неравенств
1 2
1
1, 1.
H
H
B r B
B t B r
Перейдем теперь к выводу уравнений дрейфового приближения,
разлагая в уравнениях движения координаты и скорости по
:
..., ...
0 1 0 1
x = x + x + v = v + v +
В уравнении движения учтем электрическое поле
E
и немагнитную
силу
F
:
1
.
d
e
dt c
p
E vB F
39
H           H p                                    p E             p d 

     
             p 
                      0 . В результате            E     t
                                                                              dq  0. Отсюда
                                                                          dt 
                                                     
 dpdq  inv  I .         Таким         образом,           действие                     I    оказывается
приближенным инвариантом для финитного движения при медленных
изменениях параметров системы. Поскольку I                                          Edt ,   то отсюда, в
частности, следует, что всякие медленные изменения периода T
движения приводят к изменениям энергии, ET  const.
        Можно показать, что точность сохранения адиабатических
инвариантов (в одномерном движении) экспоненциальная,  e
                                                                                                    1/ 
                                                                                                            при
аналитической зависимости H    , и степенная,   , если разрывна
                                                                                          n



производная  H /  .
                      n          n


       Из сказанного ясно, что для ларморовского движения
заряженной частицы в достаточно медленно меняющемся поле B  r , t 
адиабатическим инвариантом будет величина I  p rH , где p   mv

                                                                            
                                                                                 1 / 2
– поперечный импульс частицы,   1  v / c
                                                                 2       2
                                                                                          – релятивистский
фактор, rH  v /  H  p c / eB – ларморовский радиус,  H  eB /  mc
– ларморовская частота. С точностью до постоянных множителей
I  p / B совпадает с магнитным моментом ларморовского кружка
         2


                                                         2
                                                     p
                                                           .                                         ( 5.1 )
                                                   2 mB
В дальнейшем будем обозначать  E дипольный магнитный момент
Земли, а  – магнитный момент частицы. Требуемая медленность
изменения магнитного поля B сводится к выполнению неравенств
                                     1   B                      rH B
                          1                  1,  2 
                                                       1.
                       H B t                 B r
Перейдем теперь к выводу уравнений дрейфового приближения,
разлагая в уравнениях движения координаты и скорости по  :
                   x = x 0 + x1 + ..., v = v 0 + v 1 + ...
В уравнении движения учтем электрическое поле E и немагнитную
силу F :
                       dp            1       
                            e  E   vB    F.
                       dt            c       
                                                39

Страницы