Надежность и безопасность технических систем. Ветошкин А.Г - 19 стр.

      Гипотезы Н1,Н2,...,Нn образующих полную группу, поэтому событие А может
появиться только в комбинации с какой-либо из этих гипотез, т. е.
                               А=Н1А+ Н1А+...+ НnА.
      Так как гипотезы Н1, Н2, ... ,Нn несовместны, то и комбинации Н1А+ Н1А+...+
НnА также несовместны. Применяя теорему сложения, получим для этих гипотез:
                                                                n
                  Р(А) = P(H1 A)+P(H2 A)+…+P(Hn A)= ∑ P ( H i A).
                                                               i =1

      Применяя к событию Н1А теорему умножения, получим
                                       n
                              Р(А)= ∑ P( H i ) P( A / H i ),
                                      i =1

что и требовалось доказать.
       Пример 3.11. По движущемуся танку производят три выстрела из артиллерий-
ского орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5; при втором —
0,7; при третьем — 0,8. Для вывода танка из строя заведомо достаточно трех попада-
ний. При одном попадании танк выходит из строя с вероятностью 0,3; при двух попа-
даниях — с вероятностью 0,9. Определить вероятность того, что в результате трех вы-
стрелов танк выйдет из строя.
       Р е ш е н и е. Рассмотрим четыре гипотезы: Н0 — в танк не попало ни одного
снаряда. Н1 — в танк попал один снаряд, Н2 — в танк попало два снаряда и Н3 — в танк
попало три снаряда.
       Пользуясь теоремами сложения и умножения, найдем вероятности этих гипотез:
                               Р(Н0)=0,5*0,3*0,2=0,03;
                   Р(Н1)=0,5*0,3*0,2+0,5*0,7*0,2+0,5*0,3*0,8=0,22;
                   Р(Н2)=0,5*0,7*0,2+0,5*0,3*0,8+0,5*0,7*0,8=0,47;
                               Р(Н3)=0,5*0,7*0,8=0,28.
       Условные вероятности события А (выход из строя танка) при этих гипотезах
равны:
                Р(А/Н0) = 0; Р(А/Н1) = 03; Р(А/Н2) = 0,9; Р(А/Н3) = 1,0.
       Применяя формулу полной вероятности, получим
                        Р(А) = Р(Н0)*Р(А/Н0)+ Р(Н1)*Р(А/Н1)+
                          + Р(Н2)*Р(А/Н2) + Р(Н3)*Р(А/Н3) =
                     =0,03*0+0,22.*0,3+0,47*0,9+0,28*1,0 = 0,769.
       В практике применения теории вероятностей часто приходится встречаться с за-
дачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются много-
кратно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое со-
бытие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число
появлений события А в результате серии опытов. Например, если производится группа
выстрелов по одной и той же цели, то нас интересует не результат каждого выстрела, а
общее число попаданий.
       Если проводят n независимых опытов, в каждом из которых событие А появля-
ется с вероятностью р, то вероятность того, что событие появится ровно т раз, вы-
ражается формулой Бернулли


                                             19