Надежность и безопасность технических систем. Ветошкин А.Г - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

18
∏∏
==
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
i
i
n
i
i
APAP
11
).( (3.27)
Пример 3.9. Устройство состоит из пяти приборов, каждый из которых, незави-
симо от других, может в течение времени t отказать. Отказ хотя бы одного прибора
приводит к отказу устройства. За время t вероятность безотказной работы каждого из
приборов соответственно равна P
1
(t)=0,95; P
1
(t)=0,99; P
1
(t)=0,98; P
1
(t)=0,90; P
1
(t)=0,93.
Найти надежность устройства за время работы t.
Р е ш е н и е. Введем обозначения вероятностей безотказной работы первого —
пятого приборов: А
1
—А
5
.
Имеем: А = А
1
А
2
А
3
А
4
А
5
.
По формуле умножения для независимых событий (3.26) получим:
Р(А)=Р(А
1
) Р(А
2
) Р(А
3
) Р(А
4
) Р(А
5
)=0,95*0,99*0,98*0,90*0,93=0,76.
Пример 3.10. Производят три выстрела по одной и той же мишени. Вероятность
попадания при первом — третьем выстрелах соответственно равна: Р
1
= 0,8; Р
2
= 0,6; Р
3
= 0,3; Найти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени будет
хотя бы одна пробоина.
Р е ш е н и е. Рассмотрим событие В — хотя бы одно попадание в мишень.
Представим событие В в виде суммы несовместных вариантов:
B=A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
,
где A
1
, A
2
, A
3
- попадания при первом — третьем выстрелах; A
1
, A
2
, A
3
— промах при
первом — третьем выстрелах.
Вероятность каждого варианта находим по теореме умножения, а затем исполь-
зуем теорему сложения:
Р(В) = Р(А
1
)Р(А
2
)Р(А
3
) + Р(А
1
)Р(А
2
)Р(А
3
) + Р(А
1
)Р(А
2
)Р(А
3
)+ +Р(А
1
)Р(А
2
)Р(А
3
) +
Р(А
1
)Р(А
2
)Р(А
3
) + Р(А
1
)Р(А
2
)Р(А
3
) +
+ Р(А
1
)Р(А
2
)Р(А
3
) = 0,8*0,6*0,3+0,8*0,6*(1-0,3)+0,8* (1-0,6)*0.3+
+(1 - 0,8)*0,6*03 + 0,8*(1 - 0,6)*(1 - 0,3) + (1 - 0,8)*0,6*(1 - 0,3) +
+(1- 0,8)*(1 -0,6)*0,3=0,946.
3.4. Формула полной вероятности
Следствием обеих основных теорем — теоремы сложения вероятностей и тео-
ремы умножения вероятностей — является формула полной вероятности.
Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может
произойти вместе с одним из событий: Н
1
, Н
2
, ... , Н
n
, образующих полную группу не-
совместных событий, называемых гипотезами. Докажем, что в этом случае
P(A) =
∑
=
n
i
ii
HAPHP
1
),/()( (3.28)
т. е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой
гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.
Формулу (3.28) называют формулой полной вероятности, что можно доказать
следующим образом. 
             ⎛ n     ⎞   n
           P⎜⎜ ∏ Ai ⎟⎟ = ∏ P ( Ai ).                                            (3.27)
             ⎝ i =1 ⎠ i =1
       Пример 3.9. Устройство состоит из пяти приборов, каждый из которых, незави-
симо от других, может в течение времени t отказать. Отказ хотя бы одного прибора
приводит к отказу устройства. За время t вероятность безотказной работы каждого из
приборов соответственно равна P1(t)=0,95; P1(t)=0,99; P1(t)=0,98; P1(t)=0,90; P1(t)=0,93.
Найти надежность устройства за время работы t.
       Р е ш е н и е. Введем обозначения вероятностей безотказной работы первого —
пятого приборов: А1 —А5.
       Имеем: А = А1А2А3А4А5.
       По формуле умножения для независимых событий (3.26) получим:
                  Р(А)=Р(А1) Р(А2) Р(А3) Р(А4) Р(А5)=0,95*0,99*0,98*0,90*0,93=0,76.
       Пример 3.10. Производят три выстрела по одной и той же мишени. Вероятность
попадания при первом — третьем выстрелах соответственно равна: Р1 = 0,8; Р2 = 0,6; Р3
= 0,3; Найти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени будет
хотя бы одна пробоина.
       Р е ш е н и е. Рассмотрим событие В — хотя бы одно попадание в мишень.
Представим событие В в виде суммы несовместных вариантов:
            B=A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3,
где A1, A2, A3 - попадания при первом — третьем выстрелах; A1, A2, A3 — промах при
первом — третьем выстрелах.
       Вероятность каждого варианта находим по теореме умножения, а затем исполь-
зуем теорему сложения:
    Р(В) = Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1)Р(А2)Р(А3)+ +Р(А1)Р(А2)Р(А3) +
                             Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1)Р(А2)Р(А3) +
            + Р(А1)Р(А2)Р(А3) = 0,8*0,6*0,3+0,8*0,6*(1-0,3)+0,8* (1-0,6)*0.3+
             +(1 - 0,8)*0,6*03 + 0,8*(1 - 0,6)*(1 - 0,3) + (1 - 0,8)*0,6*(1 - 0,3) +
                                    +(1- 0,8)*(1 -0,6)*0,3=0,946.

                             3.4. Формула полной вероятности

      Следствием обеих основных теорем — теоремы сложения вероятностей и тео-
ремы умножения вероятностей — является формула полной вероятности.
      Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может
произойти вместе с одним из событий: Н1, Н2, ... , Нn, образующих полную группу не-
совместных событий, называемых гипотезами. Докажем, что в этом случае
                   n
         P(A) =   ∑ P( H ) P( A / H ),
                  i =1
                         i         i                                     (3.28)

т. е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой
гипотезы на вероятность события при этой гипотезе.
        Формулу (3.28) называют формулой полной вероятности, что можно доказать
следующим образом.


                                           18

Страницы