Надежность и безопасность технических систем. Ветошкин А.Г - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

16
Общая формула, выражающая вероятность произведения произвольного числа
событий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.
д., имеет вид:
P(A
1
A
2
…A
n
)=
∑∑ ∑
+++−++++++−
−
ijikji
n
n
kjijii
AAAPAAAPAAPAP
,,,
21
1
)...()1(...)()()( . (3.23)
Формулы (3.20) и (3.23) находят практическое применение при преобразовании
различных выражений, содержащих вероятности сумм и произведений событий. В за-
висимости от специфики задачи в некоторых случаях удобнее бывает использовать
только суммы, а в других только произведения событий.
Пример 3.5. Пусть проводится стрельба из артиллерийского орудия по щиту с
двумя зонами попадания. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле
равна 0,40, во вторую 0,35. Найти вероятность промаха.
Р е ш е н и е. Обозначим через А — попадание, а через А — промах. Тогда собы-
тие А=А
1
+А
2
,, где А
1
и А
2
— попадания соответственно в первую и вторую зоны. Ис-
пользуя формулу (3.14), найдем
Р(А)=Р(А
1
)+Р(А
2
)=0,40+0,35=0,75.
Тогда Р(А)=1 - Р(А)=1- 0,75 = 0,25.
Ответ: Р(А) = 0,25.
Пример 3.6. Техническое устройство состоит из трех элементов А
1
, А
2
и В. Эле-
менты А
1
и А
2
дублируют друг друга. Это означает, что при отказе одного из них про-
исходит автоматическое переключение на второй. Элемент В не дублирован.
Устройство прекращает работу в том случае, когда отказывают оба элемента А
1
и А
2
либо отказывает элемент В. Таким образом, отказ устройства можно представить в
виде события С = А
1
А
2
+В, где событие А
1
является отказом элемента А
1
,А
2
— отказом
элемента А
2
и В — отказом элемента В. Требуется выразить вероятность события С че-
рез вероятности событий, содержащих только суммы.
Р е ш е н и е. В соответствии с формулой (3.18) имеем
Р(С)=Р(А
1
А
2
)+Р(В)-Р(А
1
А
2
В).
Используя формулу (3.21), определим
Р(А
1
А
2
)=Р(А
1
)+Р(А
2
) -Р(А
1
+ А
2
).
Далее, применяя формулу (3.22), получим
Р(А
1
А
2
В)= Р(А
1
)+Р(А
2
)+Р(В) - Р(А
1
+ А
2
) - Р(А
1
+В) –
- Р(А
2
+В)+ Р(А
1
+
А
2
+В).
Подставляя полученные выражения и сокращая, находим
Р(С)= Р(А
1
+В) + Р(А
2
+В) - Р(А
1
+
А
2
+В).
О т в е т
: Р(С)= Р(А
1
+В) + Р(А
2
+В) - Р(А
1
+
А
2
+В).
3.3. Теорема умножения вероятностей
События могут быть независимыми и зависимыми.
Событие А называют независимым от события В, если вероятность события А не
зависит от того, произошло событие В или нет. 
       Общая формула, выражающая вероятность произведения произвольного числа
событий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три и т.
д., имеет вид:
                                              P(A1A2…An)=
     ∑ P( Ai ) − ∑ P( Ai + Aj ) + ∑ P( Ai + Aj + Ak ) + ... + (−1)n −1 P( A1 + A2 + ... + An ) . (3.23)
      i          i, j             i, j,k

       Формулы (3.20) и (3.23) находят практическое применение при преобразовании
различных выражений, содержащих вероятности сумм и произведений событий. В за-
висимости от специфики задачи в некоторых случаях удобнее бывает использовать
только суммы, а в других только произведения событий.
       Пример 3.5. Пусть проводится стрельба из артиллерийского орудия по щиту с
двумя зонами попадания. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле
равна 0,40, во вторую 0,35. Найти вероятность промаха.
       Р е ш е н и е. Обозначим через А — попадание, а через А — промах. Тогда собы-
тие А=А1+А2,, где А1 и А2 — попадания соответственно в первую и вторую зоны. Ис-
пользуя формулу (3.14), найдем
                           Р(А)=Р(А1)+Р(А2)=0,40+0,35=0,75.
       Тогда Р(А)=1 - Р(А)=1- 0,75 = 0,25.
       Ответ: Р(А) = 0,25.
       Пример 3.6. Техническое устройство состоит из трех элементов А1, А2 и В. Эле-
менты А1 и А2 дублируют друг друга. Это означает, что при отказе одного из них про-
исходит автоматическое переключение на второй. Элемент В не дублирован.
       Устройство прекращает работу в том случае, когда отказывают оба элемента А1
и А2 либо отказывает элемент В. Таким образом, отказ устройства можно представить в
виде события С = А1А2 +В, где событие А1 является отказом элемента А1,А2 — отказом
элемента А2 и В — отказом элемента В. Требуется выразить вероятность события С че-
рез вероятности событий, содержащих только суммы.
       Р е ш е н и е. В соответствии с формулой (3.18) имеем
                              Р(С)=Р(А1А2)+Р(В)-Р(А1А2В).
       Используя формулу (3.21), определим
                             Р(А1А2)=Р(А1)+Р(А2) -Р(А1+ А2).
       Далее, применяя формулу (3.22), получим
                   Р(А1А2В)= Р(А1)+Р(А2)+Р(В) - Р(А1+ А2) - Р(А1+В) –
                                - Р(А2+В)+ Р(А1 + А2 +В).
       Подставляя полученные выражения и сокращая, находим
                        Р(С)= Р(А1+В) + Р(А2+В) - Р(А1 + А2 +В).
       О т в е т: Р(С)= Р(А1+В) + Р(А2+В) - Р(А1 + А2 +В).

                           3.3. Теорема умножения вероятностей

      События могут быть независимыми и зависимыми.
      Событие А называют независимым от события В, если вероятность события А не
зависит от того, произошло событие В или нет.


                                                  16

Страницы