Надежность и безопасность технических систем. Ветошкин А.Г - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

17
Событие А называют зависимым от события В, если вероятность события А ме-
няется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
Понятие зависимости и независимости событий можно наглядно показать на
следующих примерах.
Пример 3.7. Предположим, что опыт состоит в бросании двух монет, при этом
рассматривают следующие события: событие А — появление герба на первой монете и
событие В — появление герба на второй монете.
В этом случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В
или нет, следовательно, событие А независимо от события В
.
Пример 3.8. Пусть в урне имеется два белых и один черный шар. Два человека
вынимают из урны по одному шару, при этом рассматриваются следующие события:
событие А — появление белого шара у первого человека и событие В — появление бе-
лого шара у второго человека.
Вероятность события А до того, как станет известно
что-либо о событии В, равна
2/3. Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А стано-
вится равной 1/2, из чего заключаем, что событие А зависит от события В.
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое со-
бытие В, называется условной вероятностью события А
и обозначается Р(А/В).
Для условий примера Р(А) = 2/3, Р(А/В) = 1/2.
Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом.
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности од-
ного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое
имело место, т. е.
Р(АВ)=Р(А)Р(В
/А). (3.24)
Очевидно, что при применении теоремы умножения безразлично, какое из собы-
тий — А или В — считать первым, а какое вторым, и теорему можно записать так:
два события называют независимыми, если появление одного из них не изменя-
ет вероятности появления другого.
Понятие независимых событий может быть распространено на случай
произ-
вольного числа событий. Несколько событий называют независимыми, если любое из
них не зависит от любой совокупности остальных.
Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению ве-
роятностей этих событий. Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на
случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так.
Вероятность произведения нескольких событий
равна произведению вероятно-
стей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вы-
числяют при условии, что все предыдущие имели место:
P(A
1
A
2
…A
n
)=P(A
1
)P(A
2
/A
1
)P(A
3
/A
1
A
2
)…P(A
N
/A
1
A
2
…A
N - 1
). (3.25)
В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:
P(A
1
A
2
…A
N
) = P(A
1
)P(A
2
)…P(A
N
), (3.26)
т. е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятно-
стей этих событий.
Применяя знак произведения, теорему можно записать так: 
        Событие А называют зависимым от события В, если вероятность события А ме-
няется в зависимости от того, произошло событие В или нет.
        Понятие зависимости и независимости событий можно наглядно показать на
следующих примерах.
        Пример 3.7. Предположим, что опыт состоит в бросании двух монет, при этом
рассматривают следующие события: событие А — появление герба на первой монете и
событие В — появление герба на второй монете.
        В этом случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В
или нет, следовательно, событие А независимо от события В.
        Пример 3.8. Пусть в урне имеется два белых и один черный шар. Два человека
вынимают из урны по одному шару, при этом рассматриваются следующие события:
событие А — появление белого шара у первого человека и событие В — появление бе-
лого шара у второго человека.
        Вероятность события А до того, как станет известно что-либо о событии В, равна
2/3. Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А стано-
вится равной 1/2, из чего заключаем, что событие А зависит от события В.
        Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое со-
бытие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).
        Для условий примера Р(А) = 2/3, Р(А/В) = 1/2.
        Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом.
        Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности од-
ного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое
имело место, т. е.
                     Р(АВ)=Р(А)Р(В/А).                              (3.24)
        Очевидно, что при применении теоремы умножения безразлично, какое из собы-
тий — А или В — считать первым, а какое вторым, и теорему можно записать так:
        два события называют независимыми, если появление одного из них не изменя-
ет вероятности появления другого.
        Понятие независимых событий может быть распространено на случай произ-
вольного числа событий. Несколько событий называют независимыми, если любое из
них не зависит от любой совокупности остальных.
        Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению ве-
роятностей этих событий. Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на
случай произвольного числа событий. В общем виде она формулируется так.
        Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятно-
стей этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вы-
числяют при условии, что все предыдущие имели место:
           P(A1A2…An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(AN/A1A2…AN - 1).        (3.25)
        В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:
              P(A1A2…AN) = P(A1)P(A2)…P(AN),                        (3.26)
т. е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятно-
стей этих событий.
        Применяя знак произведения, теорему можно записать так:


                                          17

Страницы