Надежность и безопасность технических систем. Ветошкин А.Г - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

15
События могут быть совместными и несовместными. Два события называют не-
совместными, если в результате опыта они не могут появиться одновременно. И на-
оборот, события считаются совместными, если они появляются одновременно в ре-
зультате такого опыта.
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей
этих событий
Р(А+В)=Р(
А)+Р(В). (3.13)
Метод полной индукции позволяет использовать теорему сложения для произ-
вольного числа несовместных событий. Так, вероятность суммы нескольких событий
равна сумме вероятностей этих событий
P(A
1
+A
2
+…+A
n
)=P(A
1
)+P(A
2
)+…+P(A
n
). (3.14)
Более удобная запись теоремы сложения:
∑∑
==
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
i
i
n
i
i
APAP
11
).( (3.15)
С л е д с т в и е 1. Если события А
1
, А
2
, ... , А
n
образуют полную группу несо-
вместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:
∑
=
=
n
i
i
AP
1
1)(. (3.16)
Противоположными событиями называют два несовместных события, обра-
зующих полную группу.
С л е д с т в и е 2. Сумма вероятностей противоположных событий
равна
единице:
Р(А) +P(A)=1 (3.17)
где А — событие, противоположное событию А.
Вероятность суммы двух совместных событий А и
В выражается формулой
Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ). (3.18)
Аналогично вероятность суммы трех совместных событий определяется вы-
ражением (1.19)
Р(А +В +C) = Р(А) +Р(В) +Р(С) -Р(АВ) - Р(АС) -Р(ВС) +Р(АВС). (3.19)
Вероятность суммы любого числа совместных событий
определяется выраже-
нием
∑∑ ∑∑
=
−
=
−+++−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
ijikji
n
n
kjiJiI
n
i
i
AAAPAAAPAAPAPAP
1, ,,
21
1
1
)....()1(...)()()( (3.20)
Формула (3.20) выражает вероятность суммы любого числа событий через веро-
ятности произведений этих событий, взятых по одному, по два, по три и т. д.
Аналогичную формулу можно написать для произведения двух событий:
Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А+В); (3.21)
для произведения трех
событий:
Р(АВС)=Р(А)+ Р(В)+ Р(С) -Р(А +В) -Р(А +С) -Р(В+С)+Р(А +В+С). (3.22) 
       События могут быть совместными и несовместными. Два события называют не-
совместными, если в результате опыта они не могут появиться одновременно. И на-
оборот, события считаются совместными, если они появляются одновременно в ре-
зультате такого опыта.
       Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей
этих событий
                Р(А+В)=Р(А)+Р(В).                          (3.13)
       Метод полной индукции позволяет использовать теорему сложения для произ-
вольного числа несовместных событий. Так, вероятность суммы нескольких событий
равна сумме вероятностей этих событий
             P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).                (3.14)
       Более удобная запись теоремы сложения:
              ⎛ n ⎞ n
            P⎜ ∑ Ai ⎟ = ∑ P( Ai ).                                  (3.15)
              ⎝ i =1 ⎠ i =1
      С л е д с т в и е 1. Если события А1, А2, ... , Аn образуют полную группу несо-
вместных событий, то сумма их вероятностей равна единице:
                n

               ∑ P( A ) = 1 .
               i =1
                      i                                                         (3.16)

       Противоположными событиями называют два несовместных события, обра-
зующих полную группу.
       С л е д с т в и е 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна
единице:
                    Р(А) +P(A)=1                                 (3.17)
где А — событие, противоположное событию А.
       Вероятность суммы двух совместных событий А и В выражается формулой
             Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ).                           (3.18)
       Аналогично вероятность суммы трех совместных событий определяется вы-
ражением (1.19)
      Р(А +В +C) = Р(А) +Р(В) +Р(С) -Р(АВ) - Р(АС) -Р(ВС) +Р(АВС).      (3.19)
       Вероятность суммы любого числа совместных событий определяется выраже-
нием
     ⎛ n ⎞ n
   P⎜ ∑ Ai ⎟ = ∑ P( AI ) − ∑ P( Ai AJ ) + ∑ P ( Ai Aj Ak ) + ... + (−1) n −1 P( A1 A2 ... An ). (3.20)
     ⎝ i =1 ⎠ i =1         i, j           i, j,k

         Формула (3.20) выражает вероятность суммы любого числа событий через веро-
ятности произведений этих событий, взятых по одному, по два, по три и т. д.
         Аналогичную формулу можно написать для произведения двух событий:
               Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А+В);                                                 (3.21)
для произведения трех событий:
          Р(АВС)=Р(А)+ Р(В)+ Р(С) -Р(А +В) -Р(А +С) -Р(В+С)+Р(А +В+С). (3.22)



                                                 15

Страницы