Надежность и безопасность технических систем. Ветошкин А.Г - 13 стр.

     Плотность распределения выражается соотношением
                                       ⎧ 0 при x ≤ 0;
                              dF ( x) ⎪ 2
                        f(x)=        = ⎨3 x при 0 < x ≤ 1;
                               dx      ⎪ 0 при x > 1.
                                       ⎩
      Пример 3.2. Плотность распределения случайной величины Х описывается вы-
ражением
                                 ⎧ ax при 0 ≤ x ≤ 1;
                           f(x)= ⎨
                                 ⎩0 при x < 0 или x > 1.
       Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое откло-
нение случайной величины.
       Р е ш е н и е. Математическое ожидание найдем по формуле (3.4):
                                     1                       1
                                                         a
                            M x = ∫ xf ( x)dx = ∫ xaxdx = .
                                  0             0        3
      Для определения дисперсии используем формулу (3.7):
                                                2
                             1
                               ⎛    a⎞          ⎛ 1 2a a 2 ⎞
                        Dx = ∫ ⎜ x − ⎟ axdx = a⎜⎜ −   + ⎟⎟.
                             0 ⎝    3 ⎠         ⎝ 4 9  18 ⎠
      Среднее квадратическое отклонение соответственно равно:
                                                     ⎛1              2a   a2 ⎞
                           σ x = Dx = a⎜⎜ −  + ⎟⎟ .
                                        ⎝ 4 9 18 ⎠
       Пример 3.3. При проведении одного опыта может появиться или не появиться
некоторое событие А. Вероятность появления события А равна р, а вероятность непояв-
ления этого события - 1- p = q.
       Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое от-
клонение случайной величины Х — число появлений события А.
       Р е ш е н и е. Ряд распределения случайной величины Х можно записать в виде
таблицы:

                                                         0                1
                                     xi
                                     Pi                  q                P


      По формуле (3.3) находим математическое ожидание:
                                          1
                             M x = ∑ xi pi = 0q + 1 p = p.
                                         i =0

      Дисперсию величины Х определим по формуле (3.6). Среднее квадратическое
отклонение равно:
                                          1
                              Dx = ∑ ( xi − M x ) pi = pq.
                                                                 2

                                         i =0




                                                    13