Надежность и безопасность технических систем. Ветошкин А.Г - 11 стр.

сах и ступенчато возрастает при дискретных процессах. В пределах изменения случай-
ной величины Х эта функция изменяется от 0 до 1: F(-∞) = 0; F(∞) = 1;
       Производную от функции распределения по текущей переменной называют
плотностью распределения
                               dF ( x)
                   f ( x) =            ,                     (3.2)
                                d ( x)
которая характеризует частоту повторений данного значения случайной величины. В
теории надежности величину f(x) называют плотностью вероятности. Плотность рас-
пределения есть неотрицательная функция своего аргумента ƒ(x) ≥ 0.
      Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:
                                           ∞

                                           ∫ f ( x)dx = 1.
                                           −∞

      В ряде случаев в качестве характеристик распределения случайных величин
достаточно использовать некоторые числовые величины, среди которых в теории на-
дежности наиболее употребительными являются математическое ожидание (среднее
значение), мода и медиана (характеризуют положение центров группирования случай-
ных величин на числовой оси), дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэф-
фициент вариации (характеризуют рассеяние случайной величины). Значения характе-
ристик, полученные по результатам испытаний или эксплуатации, называют стати-
стическими оценками. Характеристики распределения используют для прогнозирова-
ния надежности.
      Для дискретных случайных величин математическое ожидание Mx равно сум-
ме произведений всех возможных значений Х на вероятности этих значений:
                         n
                M x = ∑ xi pi .                              (3.3)
                        i =1

      Математическое ожидание для непрерывной случайной величины выражается
интегралом в бесконечных пределах от произведения непрерывно изменяющихся воз-
можных значений случайной величины на плотность распределения
                   ∞
            Mx =   ∫ xf ( x)dx.
                   −∞
                                                                 (3.4)

       Математическое ожидание случайной величины непосредственно связано с ее
средним значением. При неограниченном увеличении числа опытов среднее арифмети-
ческое значение величины х приближается к математическому ожиданию и называется
оценкой среднего значения:
                     1 n
                 x = ∑ xi ,                                 (3.5)
                     n i =1
где n - общее число опытов; xi - текущее значение случайной величины.
       Дисперсией (D) случайной величины называют математическое ожидание квадра-
та отклонения этой величины от ее математического ожидания.
       Для дискретной случайной величины дисперсия равна:



                                                11