Надежность технических систем и техногенный риск. Ветошкин А.Г. - 13 стр.

любом отрезке времени распределено по закону Пуассона, найти вероятность того, что за 2 ч
рабочей смены поступят две заявки.
     Решение. Среднее число заявок за 2 ч равно λ=2*5/10=1.
     Применяя формулу (3.1), найдем вероятность поступления двух заявок
                                               λ2                 12 −1
                                          P=        e−λ =             e = 0,184.
                                               2!                1⋅ 2

                           3.2. Экспоненциальное распределение

     Экспоненциальный закон распределения^ называемый также основным законом надеж-
ности, часто используют для прогнозирования надежности в период нормальной эксплуата-
ции изделий, когда постепенные отказы еще не проявились и надежность характеризуется
внезапными отказами. Эти отказы вызываются неблагоприятным стечением многих обстоя-
тельств и поэтому имеют постоянную интенсивность. Экспоненциальное распределение на-
ходит довольно широкое применение в теории массового обслуживания, описывает распре-
деление наработки на отказ сложных изделий, время безотказной работы элементов радио-
электронной аппаратуры.
     Приведем примеры неблагоприятного сочетания условий работы деталей машин, вы-
зывающих их внезапный отказ. Для зубчатой передачи это может быть действием макси-
мальной нагрузки на наиболее слабый зуб при его зацеплении; для элементов радиоэлек-
тронной аппаратуры — превышение допустимого тока или температурного режима.
     Плотность распределения экспоненциального закона (рис. 3.1) описывается соотноше-
нием
                     f ( x) = λe − λx ;                                            (3.3)
функция распределения этого закона — соотношением
                     F ( x) = 1 − e − λx ;                                         (3.4)
функция надежности
                     P( x) = 1 − F ( x) = e − λx ;                                 (3.5)
математическое ожидание случайной величины Х
                             ∞
                                               1
                     M x = ∫ xλe − λx dx =          ;                              (3.6)
                             0                 λ
дисперсия случайной величины Х
                            ∞
                                               1            1
                     Dx = ∫ x 2λe − λx dx −             =        .                 (3.7)
                            0                  λ2
                                                            λ2
     Экспоненциальный закон в теории надежности нашел широкое применение, так как он
прост для практического использования. Почти все задачи, решаемые в теории надежности,
при использовании экспоненциального закона оказываются намного проще, чем при исполь-
зовании других законов распределения. Основная причина такого упрощения состоит в том,
что при экспоненциальном законе вероятность безотказной работы зависит только от дли-
тельности интервала и не зависит от времени предшествующей работы.




                                                            14