Надежность технических систем и техногенный риск. Ветошкин А.Г. - 15 стр.

Рис. 3.2. Кривые плотности вероятности (а) и функции надежности (б) нормального распре-
                                        деления

     Параметр т = Мx представляет собой среднее значение случайной величины X, оцени-
ваемое по формуле
                               1 n
                      Mx =       ∑ xi ;
                               n i =1
                                                                                            (3.9)

параметр σ — среднее квадратическое отклонение случайной величины X, оцениваемое по
формуле
                             1 n
                    σ =         ∑
                           n − 1 i =1
                                      ( xi − M x ) 2 .                                      (3.10)

     Интегральная функция распределения имеет вид
                               x                                x        ( x − m) 2
                                                 1                   −
                    F ( x) =   ∫
                               −∞
                                    f ( x)dx =
                                               σ 2π             ∫e
                                                                −∞
                                                                           2σ 2
                                                                                      dx;   (3.11)

вероятность отказа и вероятность безотказной работы соответственно Q (x) =F(x), Р(х)
=1 -F(x).
     Вычисление интегралов заменяют использованием таблиц нормального распределения,
при котором Мx = 0 и σ = 1. Для этого распределения функция плотности вероятности имеет
одну переменную t и выражается зависимостью
                                            t2
                                 1 −2
                     f 0 (t ) =    e .                              (3.12)
                                2π
     Величина t является центрированной (так как Мt = 0) и нормированной (так как σt = 1).
     Функция распределения соответственно запишется в виде:
                                        t            t2
                                  1              −
                       F0 (t ) =
                                 2π    ∫e
                                       −∞
                                                      2
                                                          dt.                               (3.13)

     Из этого уравнения следует, что F0 (t ) + F0 (−t ) = 1 или F0 (−t ) = 1 − F0 (t ).
      При использовании табл. 1 приложения следует в формулу (3.13) вместо t подставить
ее значение:
                                           (x − M x )
                                       t=             ;
                                                                          σ
при этом t называют квантилью нормированного нормального распределения (обычно обо-
значают up).
                                                                16