Надежность технических систем и техногенный риск. Ветошкин А.Г. - 17 стр.

     Ответ: P(X) = 0,77.


                    3.4. Логарифмически нормальное распределение

     Логарифмически нормальное распределение нашло широкое применение в вопросах
техники, биологии, экономики и теории надежности. Его успешно применяют дня описания
наработки до отказа подшипников, электронных ламп и других изделий.
     Неотрицательная случайная величина распределена логарифмически нормально, если
ее логарифм распределен нормально. Плотность распределения для различных значений σ
приведена на рис. 3.3.
     Плотность распределения описывается зависимостью
                                               (ln x − M ) 2
                           1               −
                                                     2σ 2
                 f(x)=                 e                        ,                                (3.18)
                         xσ 2π
где М и σ — параметры, оцениваемые по результатам п испытаний до отказа;
                      1 n                                             1 n
                 M=     ∑ ln xi ;                         σ =            ∑     (ln xi − M )2 .   (3.19)
                      n i =1                                        n − 1 i =1
     Для логарифмически нормального закона распределения функция надежности выгля-
дит так:
                                       ∞             x2
                        1                        −
                  Р(х)=
                        2π             ∫e
                                   ln ( x / M )
                                                     2
                                                          dx.                                    (3.20)
                                       σ




             Рис. 3.3. Плотность логарифмически нормального распределения

     Вероятность безотказной работы можно определить по таблицам для нормального рас-
пределения (см. табл.П.1 приложения) в зависимости от значения квантили
                                           ln x − M
                                      иp =          .
                                                                         σ
     Математическое ожидание наработки до отказа
                 Mx= e (M +σ / 2 ).
                               2
                                                                    (3.21)
     Среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации соответственно равны:
                               2
                                   (
                 σx= e 2 M +σ eσ − 1 ;
                                        2
                                                      )                                           (3.22)

                                                                       18