Надежность технических систем и техногенный риск. Ветошкин А.Г. - 16 стр.

         Плотность распределения и вероятность отказа соответственно равны: f(x)
= f 0 (t ) / σ ; Q( x) = F0 (t ) ; тогда вероятность безотказной работы Р(х) = l - F0(t), где f0(t) и F0(t),
определяют по таблицам.
         В табл. 1 приложения приведены значения Ф*(х) в зависимости от                            t = x =
 x − Mx
             .
   σ
     В работах по надежности часто вместо интегральной функции распределения F0(t) ис-
пользуют функцию Лапласса:
                           t                        t
                                               1
                  Ф (х)= ∫ f 0 (t )dt =           ∫
                                                         2
                    *
                                                    e − t / 2 dt.                         (3.14)
                           0                   2π 0
       Очевидно, что
                           0               t
                 F0(t)=    ∫
                          −∞
                               f 0 (t )dt + ∫ f 0 (t )dt = 0,5 + Ф * (t )
                                           0
                                                                                          (3.15)

       Вероятности отказа и безотказной работы, выраженные через функцию Лапласса:
                            ⎛ x − Mx ⎞                    ⎛ x − Mx ⎞
               Q(x)=0,5+Ф* ⎜         ⎟, P( x) = 0,5 − Ф * ⎜        ⎟.     (3.16)
                            ⎝ σ ⎠                         ⎝ σ ⎠
    Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал значений от α до β
вычисляют по формуле
                                  ⎛ β − Mx ⎞     ⎛α − Mx ⎞
             P (α < X < β ) = Ф * ⎜        ⎟ −Ф *⎜       ⎟.           (3.17)
                                  ⎝ σ ⎠          ⎝ σ ⎠
      Пример 3.3. Определить вероятность безотказной работы в течение t = 2.104 ч под-
шипника скольжения, если ресурс по износу подчиняется нормальному закону распределе-
ния с параметрами Mt = 4.104 ч, σ = 104 ч.
      Р е ш е н и е. Находим квантиль
                                                        t − Mt
                                                  2 ⋅ 104 − 4 ⋅ 104
                                               up=               =   = −2.
                                          σ              104
     По табл. П.1 приложения определяем, что Р(t) =0,0228.
     Пример 3.4. Пусть случайная величина Х представляет собой предел текучести стали.
Опытные данные показывают, что предел текучести имеет нормальное распределение с па-
раметрами M = 650 МПа, σ = 30 МПа. Найти вероятность того, что полученная плавка стали
имеет предел текучести в интервале 600 — 670 МПа.
     Р е ш е н и е. Для определения вероятности воспользуемся формулой (3.17)
                                           ⎛ 670 − 650 ⎞         ⎛ 600 − 650 ⎞
                     P(600 < X < 670)= Ф * ⎜            ⎟ −Ф *⎜              ⎟ = 0,697.
                                           ⎝    30      ⎠        ⎝    30     ⎠
     Пример 3.5. Случайная величина X распределена по нормальному закону и представ-
ляет собой ошибку измерения датчика давления. При измерении датчик имеет систематиче-
скую ошибку в сторону завышения на 0,5 МПа, среднее квадратическое отклонение ошибки
измерения составляет 0,2 МПа.
     Найти вероятность того, что отклонение измеряемого значения от истинного не пре-
взойдет по абсолютной величине 0,7 МПа.
     Р е ш е н и е. По формуле (3.17) с использованием табл.П.1 приложения определим
                                                ⎛ 0,7 − 0,5 ⎞     ⎛ 0,2 − 0,5 ⎞
                          P(0,2 < X < 0,7)= Ф * ⎜           ⎟ −Ф *⎜           ⎟ = 0,77.
                                                ⎝ 0,2 ⎠           ⎝ 0,2 ⎠

                                                                 17