Надежность технических систем и техногенный риск. Ветошкин А.Г. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

20
где α — параметр формы кривой распределения; λ — параметр масштаба; е =2,71828 — ос-
нование натурального логарифма.
График плотности распределения дан на рис. 3.4.
Функция распределения Вейбулла
F(x)=l –exp(-λx
α
). (3.30)
Функция надежности для этого закона:
P(x) = exp(-λx
α
) (3.31)
Математическое ожидание случайной величины X равно:
M
x
= Γ(1 + 1/α)λ
-1/2
, (3.32)
где Г(х) — гамма-функция. Для непрерывных значений х
∞
Г(х) = ∫t
x-1
e
-t
dt. (3.33)
0
Для целочисленных значений х гамма-функцию вычисляют по формуле
Г(x) = (x -1)!; (3.34)
Г(x –1/2) =1
.
3
.
5 (2x-3)π
1/2
/2
x
. (3.35)
Г(x +1/2) =1
.
3
.
5 (2х-1) )π
1/2
/2
x
. (3.36)
Дисперсия случайной величины равна:
D
x
= λ
-2/α
[Γ(1+2/α) – Γ
2
(1+1/α)]. (3.37)
Рис. 3.4. Плотность распределения Вейбулла для λ=1
Широкое применение закона распределения Вейбулла объясняется тем, что этот закон,
обобщая экспоненциальное распределение, содержит дополнительный параметр α. Подбирая
нужным образом параметры α и λ, можно получить лучшее соответствие расчетных значе-
ний опытным данным по сравнению с экспоненциальным законом, который является одно-
параметрическим (параметр
λ).
Так, для изделий, у которых имеются скрытые дефекты, но которые длительное время
не стареют, опасность отказа имеет наибольшее значение в начальный период, а потом быст-
ро падает. Функция надежности для такого изделия хорошо описывается законом Вейбулла с
параметром α<1.
Наоборот, если изделие хорошо контролируется при изготовлении и почти не. имеет
скрытых дефектов, но подвергается быстрому старению, то функция надежности описывает-
где α — параметр формы кривой распределения; λ — параметр масштаба; е =2,71828 — ос-
нование натурального логарифма.
     График плотности распределения дан на рис. 3.4.
     Функция распределения Вейбулла
           F(x)=l –exp(-λxα).                                               (3.30)
     Функция надежности для этого закона:
           P(x) = exp(-λxα)                                                 (3.31)
     Математическое ожидание случайной величины X равно:
              Mx = Γ(1 + 1/α)λ-1/2,                                    (3.32)
где Г(х) — гамма-функция. Для непрерывных значений х
                       ∞

               Г(х) = ∫tx-1 e-t dt.                                    (3.33)
                   0

     Для целочисленных значений х гамма-функцию вычисляют по формуле
              Г(x) = (x -1)!;                                    (3.34)
                                . .        1/2 x
                  Г(x –1/2) =1 3 5 (2x-3)π /2 .              (3.35)
                            . .         1/2 x
              Г(x +1/2) =1 3 5 (2х-1) )π /2 .                    (3.36)
     Дисперсия случайной величины равна:
              Dx = λ-2/α[Γ(1+2/α) – Γ2(1+1/α)].                  (3.37)




                       Рис. 3.4. Плотность распределения Вейбулла для λ=1

      Широкое применение закона распределения Вейбулла объясняется тем, что этот закон,
обобщая экспоненциальное распределение, содержит дополнительный параметр α. Подбирая
нужным образом параметры α и λ, можно получить лучшее соответствие расчетных значе-
ний опытным данным по сравнению с экспоненциальным законом, который является одно-
параметрическим (параметр λ).
      Так, для изделий, у которых имеются скрытые дефекты, но которые длительное время
не стареют, опасность отказа имеет наибольшее значение в начальный период, а потом быст-
ро падает. Функция надежности для такого изделия хорошо описывается законом Вейбулла с
параметром α<1.
      Наоборот, если изделие хорошо контролируется при изготовлении и почти не. имеет
скрытых дефектов, но подвергается быстрому старению, то функция надежности описывает-

                                               20

Страницы