Надежность технических систем и техногенный риск. Ветошкин А.Г. - 20 стр.

ся законом Вейбулла с параметром α>1. При α =3.3 распределение Вейбулла близко к нор-
мальному.

                                        3.6. Гамма-распределение

     Гамма-распределение является двухпараметрическим распределением. Оно занимает
важное место в теории надежности. Плотность распределения имеет ограничение с одной
стороны (0 ≤ х ≤ ∞). Если параметр α формы кривой распределения принимает целое значе-
ние, то это свидетельствует о вероятности появления такого же числа событий (например,
отказов) при условии, что они независимы и появляются с постоянной интенсивностью λ.
Гамма-распределение широко применяют при описании появления отказов стареющих эле-
ментов, времени восстановления, наработки на отказ резервированных систем. При различ-
ных параметрах гамма-распределение принимает разнообразные формы, что и объясняет его
широкое применение.
     Плотность вероятности гамма-распределения определяется равенствами
                 f(x) = [λα/Γ(α)]xα-1e-λx                     при x ≥0;
                                                                                     (3.38)
             f(x) = 0                                       при x <0,
где λ >0, α >0;
                        ∞
                  Γ(α) = ∫xα-1e-x dx.                                       (3.39)
                        0

     Кривая изменения плотности распределения приведена на рис. 3.5.
     Функция распределения
                                            x

                            F(x)= λ /Г(α) ∫xα-1e-λx dx
                                    α
                                                                        при x≥0;
                                            0
                                                                                   (3.40)
                F(x) = 0                           при х < 0.
     Математическое ожидание и дисперсия соответственно равны:
                     Мx = α/λ; Dx = α/λ2 .                          (3.41)
     При α <1 интенсивность отказов монотонно убывает (что соответствует периоду при-
работки изделия), при α >1 — возрастает (что характерно для периода изнашивания и старе-
ния элементов).




                                                    21