Надежность технических систем и техногенный риск. Ветошкин А.Г. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

34
где A
1
, A
2
, A
3
- попадания при первом - третьем выстрелах; A
1
, A
2
, A
3
- промах при первом -
третьем выстрелах.
Вероятность каждого варианта находим по теореме умножения, а затем используем
теорему сложения:
Р(В) = Р(А
1
)Р(А
2
)Р(А
3
) + Р(А
1
)Р(А
2
)Р(А
3
) + Р(А
1
)Р(А
2
)Р(А
3
)+ +Р(А
1
)Р(А
2
)Р(А
3
) +
Р(А
1
)Р(А
2
)Р(А
3
) + Р(А
1
)Р(А
2
)Р(А
3
) +
+ Р(А
1
)Р(А
2
)Р(А
3
) = 0,8*0,6*0,3+0,8*0,6*(1-0,3)+0,8* (1-0,6)*0.3+
+(1 - 0,8)*0,6*03 + 0,8*(1 - 0,6)*(1 - 0,3) + (1 - 0,8)*0,6*(1 - 0,3) +
+(1- 0,8)*(1 -0,6)*0,3=0,946.
4.4. Формула полной вероятности
Следствием обеих основных теорем - теоремы сложения вероятностей и теоремы ум-
ножения вероятностей - является формула полной вероятности.
Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может про-
изойти вместе с одним из событий: Н
1
, Н
2
, ... , Н
n
, образующих полную группу несовместных
событий, называемых гипотезами. Докажем, что в этом случае
P(A) =
∑
=
n
i
ii
HAPHP
1
),/()( (4.28)
т. е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипо-
тезы на вероятность события при этой гипотезе.
Формулу (4.28) называют формулой полной вероятности, что можно доказать следую-
щим образом.
Гипотезы Н
1
,Н
2
,...,Н
n
образующих полную группу, поэтому событие А может появиться
только в комбинации с какой-либо из этих гипотез, т. е.
А=Н
1
А+ Н
2
А+...+ Н
n
А.
Так как гипотезы Н
1
, Н
2
, ... ,Н
n
несовместны, то и комбинации Н
1
А+ Н
2
А+...+ Н
n
А так-
же несовместны. Применяя теорему сложения, получим для этих гипотез:
Р(А) = P(H
1
A)+P(H
2
A)+…+P(H
n
A)=
∑
=
n
i
i
AHP
1
).(
Применяя к событию Н
i
А теорему умножения, получим
Р(А)=
∑
=
n
i
ii
HAPHP
1
),/()(
что и требовалось доказать.
Пример 4.11. По движущемуся танку производят три выстрела из артиллерийского
орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5; при втором - 0,7; при треть-
ем - 0,8. Для вывода танка из строя заведомо достаточно трех попаданий. При одном попада-
нии танк выходит из строя с вероятностью 0,3; при двух попаданиях - с вероятностью 0,9.
Определить вероятность того, что в результате
трех выстрелов танк выйдет из строя.
Р е ш е н и е. Рассмотрим четыре гипотезы: Н
0
- в танк не попало ни одного снаряда. Н
1
- в танк попал один снаряд, Н
2
- в танк попало два снаряда и Н
3
- в танк попало три снаряда.
Пользуясь теоремами сложения и умножения, найдем вероятности этих гипотез:
Р(Н
0
)=0,5*0,3*0,2=0,03;
Р(Н
1
)=0,5*0,3*0,2+0,5*0,7*0,2+0,5*0,3*0,8=0,22;
Р(Н
2
)=0,5*0,7*0,2+0,5*0,3*0,8+0,5*0,7*0,8=0,47;
Р(Н
3
)=0,5*0,7*0,8=0,28. 
где A1, A2, A3 - попадания при первом - третьем выстрелах; A1, A2, A3 - промах при первом -
третьем выстрелах.
     Вероятность каждого варианта находим по теореме умножения, а затем используем
теорему сложения:
      Р(В) = Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1)Р(А2)Р(А3)+ +Р(А1)Р(А2)Р(А3) +
                               Р(А1)Р(А2)Р(А3) + Р(А1)Р(А2)Р(А3) +
               + Р(А1)Р(А2)Р(А3) = 0,8*0,6*0,3+0,8*0,6*(1-0,3)+0,8* (1-0,6)*0.3+
                +(1 - 0,8)*0,6*03 + 0,8*(1 - 0,6)*(1 - 0,3) + (1 - 0,8)*0,6*(1 - 0,3) +
                                   +(1- 0,8)*(1 -0,6)*0,3=0,946.

                              4.4. Формула полной вероятности

     Следствием обеих основных теорем - теоремы сложения вероятностей и теоремы ум-
ножения вероятностей - является формула полной вероятности.
     Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может про-
изойти вместе с одним из событий: Н1, Н2, ... , Нn, образующих полную группу несовместных
событий, называемых гипотезами. Докажем, что в этом случае
                        n
              P(A) =   ∑ P( H ) P( A / H ),
                       i =1
                              i         i                                    (4.28)

т. е. вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипо-
тезы на вероятность события при этой гипотезе.
       Формулу (4.28) называют формулой полной вероятности, что можно доказать следую-
щим образом.
       Гипотезы Н1,Н2,...,Нn образующих полную группу, поэтому событие А может появиться
только в комбинации с какой-либо из этих гипотез, т. е.
                                      А=Н1А+ Н2А+...+ НnА.
       Так как гипотезы Н1, Н2, ... ,Нn несовместны, то и комбинации Н1А+ Н2А+...+ НnА так-
же несовместны. Применяя теорему сложения, получим для этих гипотез:
                                                                       n
                       Р(А) = P(H1 A)+P(H2 A)+…+P(Hn A)= ∑ P ( H i A).
                                                                      i =1

     Применяя к событию НiА теорему умножения, получим
                                               n
                                     Р(А)= ∑ P( H i ) P( A / H i ),
                                              i =1

что и требовалось доказать.
      Пример 4.11. По движущемуся танку производят три выстрела из артиллерийского
орудия. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,5; при втором - 0,7; при треть-
ем - 0,8. Для вывода танка из строя заведомо достаточно трех попаданий. При одном попада-
нии танк выходит из строя с вероятностью 0,3; при двух попаданиях - с вероятностью 0,9.
Определить вероятность того, что в результате трех выстрелов танк выйдет из строя.
      Р е ш е н и е. Рассмотрим четыре гипотезы: Н0 - в танк не попало ни одного снаряда. Н1
- в танк попал один снаряд, Н2 - в танк попало два снаряда и Н3 - в танк попало три снаряда.
      Пользуясь теоремами сложения и умножения, найдем вероятности этих гипотез:
                                    Р(Н0)=0,5*0,3*0,2=0,03;
                        Р(Н1)=0,5*0,3*0,2+0,5*0,7*0,2+0,5*0,3*0,8=0,22;
                        Р(Н2)=0,5*0,7*0,2+0,5*0,3*0,8+0,5*0,7*0,8=0,47;
                                    Р(Н3)=0,5*0,7*0,8=0,28.
                                                     34

Страницы