Надежность технических систем и техногенный риск. Ветошкин А.Г. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

33
Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В,
называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).
Для условий примера Р(А) = 2/3, Р(А/В) = 1/2.
Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом.
Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из
них на условную
вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место, т.
е.
Р(АВ)=Р(А)Р(В/А). (4.24)
Очевидно, что при применении теоремы умножения безразлично, какое из событий —
А или В — считать первым, а какое вторым, и теорему можно записать так:
Два события называют независимыми, если появление одного
из них не изменяет веро-
ятности появления другого.
Понятие независимых событий может быть распространено на случай произвольного
числа событий. Несколько событий называют независимыми, если любое из них не зависит
от любой совокупности остальных.
Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятно-
стей этих событий. Теорема умножения вероятностей может быть обобщена
на случай про-
извольного числа событий. В общем виде она формулируется так.
Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей
этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляют при
условии, что все предыдущие имели место:
P(A
1
A
2
…A
n
)=P(A
1
)P(A
2
/A
1
)P(A
3
/A
1
A
2
)…P(A
n
/A
1
A
2
…A
n - 1
). (4.25)
В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:
P(A
1
A
2
…A
n
) = P(A
1
)P(A
2
)…P(A
n
), (4.26)
т. е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих
событий.
Применяя знак произведения, теорему можно записать так:
∏∏
==
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
i
i
n
i
i
APAP
11
).( (4.27)
Пример 4.9. Устройство состоит из пяти приборов, каждый из которых, независимо от
других, может в течение времени t отказать. Отказ хотя бы одного прибора приводит к отка-
зу устройства. За время t вероятность безотказной работы каждого из приборов соответст-
венно равна P
1
(t)=0,95; P
2
(t)=0,99; P
3
(t)=0,98; P
4
(t)=0,90; P
5
(t)=0,93. Найти надежность уст-
ройства за время работы t.
Р е ш е н и е. Введем обозначения вероятностей безотказной работы первого - пятого
приборов: А
1
- А
5
.
Имеем: А = А
1
А
2
А
3
А
4
А
5
.
По формуле умножения для независимых событий (4.26) получим:
Р(А)=Р(А
1
) Р(А
2
) Р(А
3
) Р(А
4
) Р(А
5
)=0,95*0,99*0,98*0,90*0,93=0,76.
Пример 4.10. Производят три выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попа-
дания при первом - третьем выстрелах соответственно равна: Р
1
= 0,8; Р
2
= 0,6; Р
3
= 0,3; Най-
ти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени будет хотя бы одна про-
боина.
Р е ш е н и е. Рассмотрим событие В - хотя бы одно попадание в мишень. Представим
событие В в виде суммы несовместных вариантов:
B=A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
+ A
1
A
2
A
3
, 
       Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В,
называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).
       Для условий примера Р(А) = 2/3, Р(А/В) = 1/2.
       Теорема умножения вероятностей формулируется следующим образом.
       Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из
них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место, т.
е.
                      Р(АВ)=Р(А)Р(В/А).                             (4.24)
       Очевидно, что при применении теоремы умножения безразлично, какое из событий —
А или В — считать первым, а какое вторым, и теорему можно записать так:
       Два события называют независимыми, если появление одного из них не изменяет веро-
ятности появления другого.
       Понятие независимых событий может быть распространено на случай произвольного
числа событий. Несколько событий называют независимыми, если любое из них не зависит
от любой совокупности остальных.
       Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятно-
стей этих событий. Теорема умножения вероятностей может быть обобщена на случай про-
извольного числа событий. В общем виде она формулируется так.
       Вероятность произведения нескольких событий равна произведению вероятностей
этих событий, причем вероятность каждого следующего по порядку события вычисляют при
условии, что все предыдущие имели место:
             P(A1A2…An)=P(A1)P(A2/A1)P(A3/A1A2)…P(An/A1A2…An - 1).      (4.25)
       В случае независимых событий теорема упрощается и принимает вид:
             P(A1A2…An) = P(A1)P(A2)…P(An),                             (4.26)
т. е. вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих
событий.
       Применяя знак произведения, теорему можно записать так:
                 ⎛ n     ⎞   n
               P⎜⎜ ∏ Ai ⎟⎟ = ∏ P ( Ai ).                                        (4.27)
                 ⎝ i =1 ⎠ i =1
     Пример 4.9. Устройство состоит из пяти приборов, каждый из которых, независимо от
других, может в течение времени t отказать. Отказ хотя бы одного прибора приводит к отка-
зу устройства. За время t вероятность безотказной работы каждого из приборов соответст-
венно равна P1(t)=0,95; P2(t)=0,99; P3(t)=0,98; P4(t)=0,90; P5(t)=0,93. Найти надежность уст-
ройства за время работы t.
     Р е ш е н и е. Введем обозначения вероятностей безотказной работы первого - пятого
приборов: А1 - А5.
     Имеем: А = А1А2А3А4А5.
     По формуле умножения для независимых событий (4.26) получим:
                Р(А)=Р(А1) Р(А2) Р(А3) Р(А4) Р(А5)=0,95*0,99*0,98*0,90*0,93=0,76.
     Пример 4.10. Производят три выстрела по одной и той же мишени. Вероятность попа-
дания при первом - третьем выстрелах соответственно равна: Р1 = 0,8; Р2 = 0,6; Р3 = 0,3; Най-
ти вероятность того, что в результате этих трех выстрелов в мишени будет хотя бы одна про-
боина.
     Р е ш е н и е. Рассмотрим событие В - хотя бы одно попадание в мишень. Представим
событие В в виде суммы несовместных вариантов:
                 B=A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3 + A1A2A3,


                                             33

Страницы