Надежность технических систем и техногенный риск. Ветошкин А.Г. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

32
Р е ш е н и е. Обозначим через А — попадание, а через А — промах. Тогда событие
А=А
1
+А
2
,, где А
1
и А
2
— попадания соответственно в первую и вторую зоны. Используя фор-
мулу (4.14), найдем
Р(А)=Р(А
1
)+Р(А
2
)=0,40+0,35=0,75.
Тогда Р(А)=1 - Р(А)=1- 0,75 = 0,25.
Ответ: Р(А) = 0,25.
Пример 4.6. Техническое устройство состоит из трех элементов А
1
, А
2
и В. Элементы
А
1
и А
2
дублируют друг друга. Это означает, что при отказе одного из них происходит авто-
матическое переключение на второй. Элемент В не дублирован.
Устройство прекращает работу в том случае, когда отказывают оба элемента А
1
и А
2
либо отказывает элемент В. Таким образом, отказ устройства можно представить в виде со-
бытия С = А
1
А
2
+В, где событие А
1
является отказом элемента А
1
,А
2
— отказом элемента А
2
и
В — отказом элемента В. Требуется выразить вероятность события С через вероятности со-
бытий, содержащих только суммы.
Р е ш е н и е. В соответствии с формулой (4.18) имеем
Р(С)=Р(А
1
А
2
)+Р(В)-Р(А
1
А
2
В).
Используя формулу (4.21), определим
Р(А
1
А
2
)=Р(А
1
)+Р(А
2
) -Р(А
1
+ А
2
).
Далее, применяя формулу (4.22), получим
Р(А
1
А
2
В)= Р(А
1
)+Р(А
2
)+Р(В) - Р(А
1
+ А
2
) - Р(А
1
+В) –
- Р(А
2
+В)+ Р(А
1
+
А
2
+В).
Подставляя полученные выражения и сокращая, находим
Р(С)= Р(А
1
+В) + Р(А
2
+В) - Р(А
1
+
А
2
+В).
О т в е т
: Р(С)= Р(А
1
+В) + Р(А
2
+В) - Р(А
1
+
А
2
+В).
4.3. Теорема умножения вероятностей
События могут быть независимыми и зависимыми.
Событие А называют независимым от события В, если вероятность события А не зави-
сит от того, произошло событие В или нет.
Событие А называют зависимым от события В, если вероятность события А меняется в
зависимости от того, произошло событие В или нет.
Понятие
зависимости и независимости событий можно наглядно показать на следую-
щих примерах.
Пример 4.7. Предположим, что опыт состоит в бросании двух монет, при этом рас-
сматривают следующие события: событие А — появление герба на первой монете и событие
В — появление герба на второй монете.
В этом случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет,
следовательно, событие А независимо от события
В.
Пример 4.8. Пусть в урне имеется два белых и один черный шар. Два человека выни-
мают из урны по одному шару, при этом рассматриваются следующие события: событие А —
появление белого шара у первого человека и событие В — появление белого шара у второго
человека.
Вероятность события А до того, как станет известно
что-либо о событии В, равна 2/3.
Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной
1/2, из чего заключаем, что событие А зависит от события В. 
     Р е ш е н и е. Обозначим через А — попадание, а через А — промах. Тогда событие
А=А1+А2,, где А1 и А2 — попадания соответственно в первую и вторую зоны. Используя фор-
мулу (4.14), найдем
                                Р(А)=Р(А1)+Р(А2)=0,40+0,35=0,75.
     Тогда Р(А)=1 - Р(А)=1- 0,75 = 0,25.
     Ответ: Р(А) = 0,25.
     Пример 4.6. Техническое устройство состоит из трех элементов А1, А2 и В. Элементы
А1 и А2 дублируют друг друга. Это означает, что при отказе одного из них происходит авто-
матическое переключение на второй. Элемент В не дублирован.
     Устройство прекращает работу в том случае, когда отказывают оба элемента А1 и А2
либо отказывает элемент В. Таким образом, отказ устройства можно представить в виде со-
бытия С = А1А2 +В, где событие А1 является отказом элемента А1,А2 — отказом элемента А2 и
В — отказом элемента В. Требуется выразить вероятность события С через вероятности со-
бытий, содержащих только суммы.
     Р е ш е н и е. В соответствии с формулой (4.18) имеем
                                  Р(С)=Р(А1А2)+Р(В)-Р(А1А2В).
     Используя формулу (4.21), определим
                                 Р(А1А2)=Р(А1)+Р(А2) -Р(А1+ А2).
     Далее, применяя формулу (4.22), получим
                        Р(А1А2В)= Р(А1)+Р(А2)+Р(В) - Р(А1+ А2) - Р(А1+В) –
                                     - Р(А2+В)+ Р(А1 + А2 +В).
     Подставляя полученные выражения и сокращая, находим
                             Р(С)= Р(А1+В) + Р(А2+В) - Р(А1 + А2 +В).
     О т в е т: Р(С)= Р(А1+В) + Р(А2+В) - Р(А1 + А2 +В).

                         4.3. Теорема умножения вероятностей

      События могут быть независимыми и зависимыми.
      Событие А называют независимым от события В, если вероятность события А не зави-
сит от того, произошло событие В или нет.
      Событие А называют зависимым от события В, если вероятность события А меняется в
зависимости от того, произошло событие В или нет.
      Понятие зависимости и независимости событий можно наглядно показать на следую-
щих примерах.
      Пример 4.7. Предположим, что опыт состоит в бросании двух монет, при этом рас-
сматривают следующие события: событие А — появление герба на первой монете и событие
В — появление герба на второй монете.
      В этом случае вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет,
следовательно, событие А независимо от события В.
      Пример 4.8. Пусть в урне имеется два белых и один черный шар. Два человека выни-
мают из урны по одному шару, при этом рассматриваются следующие события: событие А —
появление белого шара у первого человека и событие В — появление белого шара у второго
человека.
      Вероятность события А до того, как станет известно что-либо о событии В, равна 2/3.
Если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной
1/2, из чего заключаем, что событие А зависит от события В.


                                            32

Страницы