Надежность технических систем и техногенный риск. Ветошкин А.Г. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

31
Р(А+В)=Р(А)+Р(В). (4.13)
Метод полной индукции позволяет использовать теорему сложения для произвольного
числа несовместных событий. Так, вероятность суммы нескольких событий равна сумме ве-
роятностей этих событий
P(A
1
+A
2
+…+A
n
)=P(A
1
)+P(A
2
)+…+P(A
n
). (4.14)
Более удобная запись теоремы сложения:
∑∑
==
=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
i
i
n
i
i
APAP
11
).( (4.15)
С л е д с т в и е 1. Если события А
1
, А
2
, ... , А
n
образуют полную группу несовместных
событий, то сумма их вероятностей равна единице:
∑
=
=
n
i
i
AP
1
1)(. (4.16)
Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих
полную группу.
С л е д с т в и е 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Р(А) +P(A) =1 (4.17)
где А — событие, противоположное событию А.
Вероятность суммы двух совместных событий А и
В выражается формулой
Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ). (4.18)
Аналогично вероятность суммы трех совместных событий определяется выражением
Р(А +В +C) = Р(А) +Р(В) +Р(С) -Р(АВ) - Р(АС) -Р(ВС) +Р(АВС). (4.19)
Вероятность суммы любого числа совместных событий определяется
выражением
∑∑ ∑∑
=
−
=
−+++−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
n
ijikji
n
n
kjiJiI
n
i
i
AAAPAAAPAAPAPAP
1, ,,
21
1
1
)....()1(...)()()( (4.20)
Формула (4.20) выражает вероятность суммы любого числа событий через вероятности
произведений этих событий, взятых по одному, по два, по три и т. д.
Аналогичную формулу можно написать для произведения двух событий:
Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А+В); (4.21)
для произведения трех событий
:
Р(АВС)=Р(А)+ Р(В)+ Р(С) -Р(А +В) -Р(А +С) -Р(В+С)+Р(А +В+С). (4.22)
Общая формула, выражающая вероятность произведения произвольного числа собы-
тий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три и т. д., имеет
вид
:
P(A
1
A
2
…A
n
)=
∑∑
∑
+++−++++++−
−
ijikji
n
n
kjijii
AAAPAAAPAAPAP
,,,
21
1
)...()1(...)()()(.
(4.23)
Формулы (4.20) и (4.23) находят практическое применение при преобразовании раз-
личных выражений, содержащих вероятности сумм и произведений событий. В зависимости
от специфики задачи в некоторых случаях удобнее бывает использовать только суммы, а в
других только произведения событий.
Пример 4.5. Пусть проводится стрельба из артиллерийского орудия по щиту с двумя
зонами попадания. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле равна 0,40, во
вторую 0,35. Найти вероятность промаха. 
                    Р(А+В)=Р(А)+Р(В).                             (4.13)
     Метод полной индукции позволяет использовать теорему сложения для произвольного
числа несовместных событий. Так, вероятность суммы нескольких событий равна сумме ве-
роятностей этих событий
                 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).                   (4.14)
     Более удобная запись теоремы сложения:
                    ⎛ n ⎞ n
                   P⎜ ∑ Ai ⎟ = ∑ P( Ai ).                                  (4.15)
                    ⎝ i =1 ⎠ i =1
     С л е д с т в и е 1. Если события А1, А2, ... , Аn образуют полную группу несовместных
событий, то сумма их вероятностей равна единице:
                      n

                    ∑ P( A ) = 1 .
                     i =1
                                i                                                         (4.16)

      Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих
полную группу.
      С л е д с т в и е 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
                        Р(А) +P(A) =1                               (4.17)
где А — событие, противоположное событию А.
      Вероятность суммы двух совместных событий А и В выражается формулой
                        Р(А+В)=Р(А)+Р(В) - Р(АВ).                   (4.18)
      Аналогично вероятность суммы трех совместных событий определяется выражением
         Р(А +В +C) = Р(А) +Р(В) +Р(С) -Р(АВ) - Р(АС) -Р(ВС) +Р(АВС).      (4.19)
      Вероятность суммы любого числа совместных событий определяется выражением
       ⎛ n ⎞ n
      P⎜ ∑ Ai ⎟ = ∑ P( AI ) − ∑ P( Ai AJ ) + ∑ P ( Ai Aj Ak ) + ... + (−1) n −1 P( A1 A2 ... An ).    (4.20)
       ⎝ i =1 ⎠ i =1          i, j           i, j,k

     Формула (4.20) выражает вероятность суммы любого числа событий через вероятности
произведений этих событий, взятых по одному, по два, по три и т. д.
     Аналогичную формулу можно написать для произведения двух событий:
                  Р(АВ)=Р(А)+Р(В)-Р(А+В);                                                      (4.21)
для произведения трех событий:
            Р(АВС)=Р(А)+ Р(В)+ Р(С) -Р(А +В) -Р(А +С) -Р(В+С)+Р(А +В+С). (4.22)
     Общая формула, выражающая вероятность произведения произвольного числа собы-
тий через вероятности сумм этих событий, взятых по одному, по два, по три и т. д., имеет
вид:
      P(A1A2…An)= ∑ P( Ai ) − ∑ P( Ai + A j ) + ∑ P( Ai + A j + Ak ) + ... + (−1) n −1 P( A1 + A2 + ... + An ) .
                            i       i, j            i, j,k

                                        (4.23)
     Формулы (4.20) и (4.23) находят практическое применение при преобразовании раз-
личных выражений, содержащих вероятности сумм и произведений событий. В зависимости
от специфики задачи в некоторых случаях удобнее бывает использовать только суммы, а в
других только произведения событий.
     Пример 4.5. Пусть проводится стрельба из артиллерийского орудия по щиту с двумя
зонами попадания. Вероятность попадания в первую зону при одном выстреле равна 0,40, во
вторую 0,35. Найти вероятность промаха.



                                                       31

Страницы