Надежность технических систем и техногенный риск. Ветошкин А.Г. - 28 стр.

    Р е ш е н и е. Так как функция распределения случайной величины Х непрерывна, то
при х= 1, а.х3 = 1, откуда а = 1.
    Плотность распределения выражается соотношением
                                              ⎧ 0 при x ≤ 0;
                                     dF ( x) ⎪ 2
                               f(x)=        = ⎨3 x при 0 < x ≤ 1;
                                      dx      ⎪ 0 при x > 1.
                                              ⎩
       Пример 4.2. Плотность распределения случайной величины Х описывается выраже-
нием
                                        ⎧ ax при 0 ≤ x ≤ 1;
                                 f(x)= ⎨
                                        ⎩0 при x < 0 или x > 1.
     Найти математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение
случайной величины.
     Р е ш е н и е. Математическое ожидание найдем по формуле (4.4):
                                           1                        1
                                                               a
                                  M x = ∫ xf ( x)dx = ∫ xaxdx = .
                                        0             0        3
       Для определения дисперсии используем формулу (4.7):
                                                      2
                                   1
                                     ⎛    a⎞          ⎛ 1 2a a 2 ⎞
                              Dx = ∫ ⎜ x − ⎟ axdx = a⎜⎜ −   + ⎟⎟.
                                   0⎝     3⎠          ⎝ 4 9 18 ⎠
       Среднее квадратическое отклонение соответственно равно:
                                                               ⎛1           2a    a2 ⎞
                                  σ x = Dx = a⎜⎜ −  + ⎟⎟ .
                                               ⎝ 4 9 18 ⎠
     Пример 4.3. При проведении одного опыта может появиться или не появиться некото-
рое событие А. Вероятность появления события А равна р, а вероятность непоявления этого
события - 1- p = q.
     Определить математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклоне-
ние случайной величины Х — число появлений события А.
     Р е ш е н и е. Ряд распределения случайной величины Х можно записать в виде табли-
цы:

                                                          0                  1
                                   xi
                                   Pi                     q                  P

       По формуле (4.3) находим математическое ожидание:
                                                1
                                   M x = ∑ xi pi = 0q + 1 p = p.
                                               i =0

       Дисперсию величины Х определим по формуле (4.6).
                                                1
                                    Dx = ∑ ( xi − M x ) pi = pq.
                                                                        2

                                               i =0

       Среднее квадратическое отклонение равно:
                                           σx = D =                         pq.

                                                          29