Надежность технических систем и техногенный риск. Ветошкин А.Г. - 26 стр.

     Отказы, возникающие в процессе испытаний или эксплуатации, могут быть вызваны
неблагоприятным сочетанием различных факторов — рассеянием действующих нагрузок,
отклонением от номинального значения механических характеристик материалов, неблаго-
приятным сочетанием допусков в местах сопряжения и т. п. Поэтому в расчетах надежности
различные параметры рассматривают как случайные величины, которые могут принимать то
или иное значение, неизвестное заранее.
     Различают случайные величины прерывного (дискретного) и не-прерывного типов. Ус-
ловимся случайные величины в дальнейшем обозначать большими буквами, а их возможные
значения — соответствующими малыми. Для каждого числа х в диапазоне изменения слу-
чайной величины Х существует определенная вероятность Р(Х<х) того, что Х не превышает
значения х. Вероятность этого события называют функцией распределения:
                     F(х) = Р(Х<х).                                (4.1)
     Функция распределения — универсальная характеристика, так как она является функ-
цией как непрерывных, так и дискретных случайных величин. Функция (х) относится к не-
убывающим функциям — х монотонно возрастает при непрерывных процессах и ступенчато
возрастает при дискретных процессах. В пределах изменения случайной величины Х эта
функция изменяется от 0 до 1: F(-∞) = 0; F(∞) = 1;
     Производную от функции распределения по текущей переменной называют плотно-
стью распределения
                               dF ( x)
                   f ( x) =            ,                              (4.2)
                                d ( x)
которая характеризует частоту повторений данного значения случайной величины. В теории
надежности величину f(x) называют плотностью вероятности. Плотность распределения
есть неотрицательная функция своего аргумента ƒ(x) ≥ 0.
      Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:
                                           ∞

                                           ∫ f ( x)dx = 1.
                                           −∞

     В ряде случаев в качестве характеристик распределения случайных величин достаточно
использовать некоторые числовые величины, среди которых в теории надежности наиболее
употребительными являются математическое ожидание (среднее значение), мода и медиана
(характеризуют положение центров группирования случайных величин на числовой оси),
дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации (характеризуют
рассеяние случайной величины). Значения характеристик, полученные по результатам испы-
таний или эксплуатации, называют статистическими оценками. Характеристики распреде-
ления используют для прогнозирования надежности.
     Для дискретных случайных величин математическое ожидание Mx равно сумме про-
изведений всех возможных значений Х на вероятности этих значений:
                         n
                 M x = ∑ xi pi .                                      (4.3)
                        i =1

     Математическое ожидание для непрерывной случайной величины выражается интегра-
лом в бесконечных пределах от произведения непрерывно изменяющихся возможных значе-
                 ний случайной величины на плотность распределения
                        ∞
                 Mx =   ∫ xf ( x)dx.
                        −∞
                                                                      (4.4)

     Математическое ожидание случайной величины непосредственно связано с ее средним
значением. При неограниченном увеличении числа опытов среднее арифметическое значе-


                                                27