Надежность технических систем и техногенный риск. Ветошкин А.Г. - 27 стр.

ние величины х приближается к математическому ожиданию и называется оценкой среднего
значения:
                    1 n
                 x = ∑ xi ,                                         (4.5)
                    n i =1
где n - общее число опытов; xi - текущее значение случайной величины.
     Дисперсией (D) случайной величины называют математическое ожидание квадрата от-
клонения этой величины от ее математического ожидания.
     Для дискретной случайной величины дисперсия равна:
                        n
                 D x = ∑ ( xi − M x ) 2 p i                           (4.6)
                      i =1
     Для непрерывной случайной величины дисперсия определяется из выражения
                        ∞
                 Dx =   ∫ (x − M
                        −∞
                                   x   ) 2 f ( x)dx.                  (4.7)

     Оценка дисперсии случайной величины:
                         1 n
                 Dx* =      ∑ ( xi − x )2 .
                       n − 1 i =1
                                                                      (4.8)

     Дисперсия случайной величины является характеристикой рассеяния — разбросанности
значений случайной величины около ее математического ожидания. Размерность дисперсии
соответствует квадрату размерности случайной величины. Для наглядности в качестве ха-
рактеристики рассеяния удобнее использовать величину, размерность которой совпадает с
размерностью случайной величины. Такой характеристикой может быть среднее квадрати-
ческое отклонение σx, которое определяется как корень квадратный из дисперсии:
                 σ x = Dx .                                           (4.9)
     Для оценки рассеяния с помощью безразмерной величины используют коэффициент
вариации, который равен:
                        σx
                 vx =        .                                        (4.10)
                        Mx
      Модой случайной величины называют ее наиболее вероятное значение или то ее значе-
ние, при котором плотность вероятности максимальна.
      Медиана характеризует расположение центра группирования случайной величины.
Площадь под графиком функции плотности распределения делится медианой пополам.
      Квантиль — значение случайной величины, соответствующее заданной вероятности.
Квантиль, соответствующую вероятности 0,5, называют медианой.
      Аналогично предыдущим характеристикам понятия моды и медианы даны в статисти-
ческой трактовке. Для симметричного модального (т.е. имеющего один максимум) распреде-
ления математическое ожидание, мода и медиана совпадают.
      Пример 4.1. Функция распределения непрерывной случайной величины Х задана вы-
ражением
                                                 ⎧ 0 при x ≤ 0;
                                                 ⎪ 3
                                           F(x)= ⎨ax при 0 < x ≤ 1;
                                                 ⎪ 1 при x > 1.
                                                 ⎩
     Найти коэффициент а и плотность распределения f(x).

                                                       28