Программирование на языке С++. Викентьева О.Л - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПНИПУ | Пермь

Составители: 

Рубрика: 

17
Лабораторная работа №3
"Вычисление функций с использованием их разложе-
ния в степенной ряд"
Цель: Практика в организации итерационных и арифметиче-
ских циклов.
1. Краткие теоретические сведения
Действительная функция f(x) называется аналитической
в точке ε, если в некоторой окрестности ⏐x-ε⏐<R этой точки
функция разлагается в степенной ряд (ряд Тейлора):
fx f f x
f
x
f
n
x
n
n
() () ()( )
()
!
( ) ...
()
!
()...
()
=+
′
−+
′′
−++ −+
εεε
ε
ε
ε
ε
2
2
(1)
При ε=0 получаем ряд Маклорена:
fx f f x
f
x
f
n
x
n
n
() () ()()
()
!
( ) ...
()
!
( ) ...
()
=+
′
+
′′
++ +00
0
2
0
2
(2)
Разность Rx fx
f
k
x
n
k
k
k
n
() ()
()
!
()
()
=− −
=
∑
ε
ε
0
(3)
называется остаточным членом и представляет собой ошибку
при замене функции f(x) полиномом Тейлора.
Для ряда Маклорена
Rx
fx
n
x
n
n
n
()
()
()!
()
=
⋅
+
+
+
1
1
1
θ
где 0<θ<1.
(4)
Таким образом, вычисление значения функции можно
свести к вычислению суммы числового ряда
а
1
+а
2
+ . . . +a
n
+ . . . .
(5)
Известно, что числовой ряд называется сходящимся,
если существует предел последовательности его частных
сумм:
S
S
n
n
=
→∞
lim
, (6)
где S
n
= а
1
+а
2
+ . . . +a
n
+ . . . .
Число S называется суммой ряда.
Из формулы (13) получаем S=S
n
+R
n
,
где R
n
- остаток ряда, причем R→0 при n→∞.
Для нахождения суммы S сходящегося ряда (5) с задан-
ной точностью ε нужно выбрать число слагаемых n столь
большим, чтобы имело место неравенство
⏐R
n
⏐<ε.
Тогда частная сумма S
n
приближенно может быть принята
за точную сумму S ряда (5).
Приближенно n выбрать так, чтобы имело место нера-
венство
|S
n+1
-S
n
|<ε или a
n
<ε. 
                                                                                                        17


              Лабораторная работа №3
 "Вычисление функций с использованием их разложе-
               ния в степенной ряд"
Цель: Практика в организации итерационных и арифметиче-
ских циклов.
                            1. Краткие теоретические сведения
          Действительная функция f(x) называется аналитической
в точке ε, если в некоторой окрестности ⏐x-ε⏐

Страницы