Конструирование и расчет элементов тонкостенных сосудов. Виноградов С.Н - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

где и – напряжения, действующие в радиальном и окружном
направлениях;
r
σ
t
σ
E
– модуль продольной упругости;
μ
– коэффициент
Пуассона.
При совместном решении уравнений (4) с учетом выражений (2)
и (3) получим следующие выражения для напряжений:
2
1
r
Ez d
dr r
⎛⎞
ϕ
μϕ
⎛
σ= +
⎜⎟
⎜
⎜⎟
⎝⎠
−μ
⎝⎠
⎞
⎟
; (5)
2
1
t
E
z
rdr
⎛⎞
d
ϕ
μϕ
⎛
σ= +
⎜⎟
⎜
⎜⎟
⎝⎠
−μ
⎝⎠
⎞
⎟
. (6)
Кроме нормальных напряжений на гранях, принадлежащих ци-
линдрическим сечениям выделенного элемента
1111
B
BAA
и
2222
B
BAA
, в общем случае имеют место и касательные напряжения.
Любое радиальное сечение пластины (например,
1221
B
BAA
) является
плоскостью симметрии, следовательно, в этих сечениях касательные
напряжения отсутствуют.
Переходя от нормальных напряжений
r
и
t
σ
к изгибающим
моментам
r
M
и
t
M
, отнесенным к единице длины соответствующе-
го сечения, получаем:
2
2
s
r
s
r
M
zdz
+
−
=σ
∫
;
2
2
s
tt
s
M
zdz
+
−
=σ
∫
. (7)
Подставляя в эти выражения значения
r
σ
и
t
σ
из уравнений (5)
и (6) и интегрируя, имеем:
r
d
MD
dr r
ϕ
μϕ
⎛
=+
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
; (8)
t
d
MD
rdr
ϕ
μϕ
⎛
=+
⎜
⎝⎠
⎞
⎟
, (9)
29
где σ r и σ t – напряжения, действующие в радиальном и окружном
направлениях; E – модуль продольной упругости; μ – коэффициент
Пуассона.
   При совместном решении уравнений (4) с учетом выражений (2)
и (3) получим следующие выражения для напряжений:
                         ⎛ Ez ⎞ ⎛ d ϕ μϕ ⎞
                    σr = ⎜                 +
                         ⎜ 1 − μ2 ⎟⎟ ⎜⎝ dr
                                                  ;            (5)
                         ⎝         ⎠         r ⎟⎠

                          ⎛ Ez ⎞ ⎛ ϕ μd ϕ ⎞
                     σt = ⎜                +
                          ⎜ 1 − μ2 ⎟⎟ ⎜⎝ r
                                                   .           (6)
                          ⎝         ⎠        dr ⎟⎠

  Кроме нормальных напряжений на гранях, принадлежащих ци-
линдрическим сечениям выделенного элемента B1B1 A1 A1 и
B2 B2 A2 A2 , в общем случае имеют место и касательные напряжения.
Любое радиальное сечение пластины (например, B1B2 A2 A1 ) является
плоскостью симметрии, следовательно, в этих сечениях касательные
напряжения отсутствуют.
   Переходя от нормальных напряжений σ r и σt к изгибающим
моментам M r и M t , отнесенным к единице длины соответствующе-
го сечения, получаем:
                       +s                       +s
                            2                         2
                 M r = ∫ σr zdz ;         M t = ∫ σt zdz .     (7)
                       −s                       −s
                            2                         2

   Подставляя в эти выражения значения σ r и σ t из уравнений (5)
и (6) и интегрируя, имеем:
                                  ⎛ d ϕ μϕ ⎞
                            Mr = D⎜    +      ;                (8)
                                  ⎝ dr   r ⎟⎠
                                   ⎛ ϕ μd ϕ ⎞
                            Mt = D ⎜ +        ,                (9)
                                   ⎝r   dr ⎠⎟



                                   29

Страницы