Элементы линейной алгебры. Виноградов А.А. - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ИВГПУ | Иваново

Составители: 

Рубрика: 

4
§1. Матрицы. Операции над ними.
Матрицей размерности
)32( × называется таблица чисел из 2-х строк и
3-х столбцов, например
−
−
20 10 3
2 3 1
3
. Вообще, матрицей размерности )( nm ×
называется таблица чисел из m строк и n столбцов. Матрицы, состоящие из
одной строки (размерности
n×1), называют строками, состоящие из одного
столбца (размерности 1×
m ) - столбцами.
Числа, входящие в матрицу называются её элементами. Каждому эле-
менту матрицы присваивают два индекса, первый – номер строки, второй – но-
мер столбца, где расположен элемент. Так в приведённой выше матрице
3
12
−=a (1-й индекс равен 1, второй 2, т.е. элемент
12
a расположен в 1-й строке
и 2-м столбце, это есть число –3),
3
21
3=a
. Вообще,
ij
a обозначает элемент
матрицы, стоящий в i-й, строке и j-м столбце.
Над матрицами можно осуществлять следующие операции.
I.
Умножение числа на матрицу или матрицы на число. Пусть
,
3 2 4
5 3 1
−
−
=A тогда, =
−⋅⋅⋅
⋅−⋅⋅
=⋅
)3 (2 22 42
5 2 )3( 2 12
2 A ,
6 4 8
01 6 2
−
−
т.е. при
умножении матрицы на число все элементы матрицы умножают на это число.
II.
Две матрицы одинаковой размерности можно складывать. При этом
складываются элементы, стоящие на одинаковых местах матриц.
,
4 1 1
0 3 2
−
−
=A ,
5 1 2
3 0 1-
−
=B
−−
=
+++
−++−+
=+
9 0 3
3 3 1
54 1(-1) 21
)3(0 0)3( )1(-2
BA
.
Если размерности матриц различны, то операция сложения не выполняется.
III.
Операцию вычитания можно определить так:
=
−−−
+
−
−
=
⋅⋅⋅
⋅⋅−⋅−
+=⋅−+=−
5 1 2
3 0 1
4 1 1
0 3 2
5(-1) 1(-1) 2(-1)
(-3)(-1) 0(-1) )1()1(
)1( ABABA
,
54 1)1( 21
)3(0 0)3( )1(2
1 2 1
3 3 3
−−−−
−−−−−−
=
−−−
−
= т.е. операция вычитания произ-
водится тоже поэлементно.
IV.
Операция умножения матриц более сложная, рассмотрим её подробнее.
Сначала возьмём строку (1 -2 3) и столбец такой же длины
6
5
4
. Их произ-
                                     §1. Матрицы. Операции над ними.
          Матрицей размерности (2 × 3) называется таблица чисел из 2-х строк и
                         1 −3      2
3-х столбцов, например                . Вообще, матрицей размерности (m × n)
                         3 3 10 − 20 
                                     
называется таблица чисел из m строк и n столбцов. Матрицы, состоящие из
одной строки (размерности 1 × n ), называют строками, состоящие из одного
столбца (размерности m × 1 ) - столбцами.
       Числа, входящие в матрицу называются её элементами. Каждому эле-
менту матрицы присваивают два индекса, первый – номер строки, второй – но-
мер столбца, где расположен элемент. Так в приведённой выше матрице
a12 = −3 (1-й индекс равен 1, второй 2, т.е. элемент a12 расположен в 1-й строке
и 2-м столбце, это есть число –3), a 21 = 3 3 . Вообще, aij обозначает элемент
матрицы, стоящий в i-й, строке и j-м столбце.
          Над матрицами можно осуществлять следующие операции.
     I. Умножение числа на матрицу или матрицы на число. Пусть
       1 − 3 5                                  2 ⋅ 1 2 ⋅ (−3) 2 ⋅ 5   2 − 6 10 
A =                , тогда, 2 ⋅ A =                                             =               , т.е. при
       4    2 − 3                               2 ⋅ 4     2  ⋅ 2      2 ⋅ ( −  3)       8  4    − 6   
умножении матрицы на число все элементы матрицы умножают на это число.
     II. Две матрицы одинаковой размерности можно складывать. При этом
складываются элементы, стоящие на одинаковых местах матриц.
            2 − 3 0                - 1 0 − 3
      A =                , B =                 ,
           1 − 1 4                 2 1 5
            2 + (-1) (−3) + 0 0 + (−3)  1 − 3 − 3 
A + B =                                             =                  .
            1+ 2            (-1) + 1 4 + 5   3 0 9 
     Если размерности матриц различны, то операция сложения не выполняется.
     III. Операцию вычитания можно определить так:
                                       (−1) ⋅ (−1) (-1) ⋅ 0 (-1) ⋅ (-3)   2 − 3 0   1 0 3 
A − B = A + (−1) ⋅ B = A +                                                      =            +                =
                                        (-1)  ⋅ 2       (-1) ⋅ 1      (-1) ⋅ 5        1  − 1 4       −  2 − 1 − 5 
    3 − 3 3   2 − (−1) (−3) − 0 0 − (−3) 
=                 =                                           , т.е. операция вычитания произ-
    − 1  − 2  − 1         1 − 2        ( −1)  − 1      4 − 5      
водится тоже поэлементно.
     IV. Операция умножения матриц более сложная, рассмотрим её подробнее.
                                                                                                  4
                                                                                                  
Сначала возьмём строку (1 -2 3) и столбец такой же длины  5  . Их произ-
                                                                                                 6
                                                                                                  




                                                            4

Страницы