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(1 + y
2
sin 2x)dx − 2y cos
2
xdy = 0
x
2
y
00
+ xy
0
= 1.
yy
00
= y
2
y
0
+ (y
0
)
2
.
y
00
+ 3y
0
+ 2y =
1
1 + e
x
5y
00
+ 3y
0
= 3x + 4
y
00
− 9y = sin 3x + 6 cos 3x
y
00
− 3y
0
+ 2y = xe
3x
˙x = 8x + 4y
˙y = 12x + 6y
y = sin 2x
y
00
+ 4y = 0
y
0
=
2xy
x
2
+ y
2
y
0
−
xy
x
2
− 1
= x
√
x
y
0
+ 2y = e
−x
sin y cos xdy = cos y sin xdx
x
2
y
0
+ 2xy = ln x
x(1 +
√
x
2
− y
2
)dx = y
√
x
2
− y
2
dy
yy
00
+ (y
0
)
2
= 1.
(1 + x
3
)y
00
+ 3x
2
y
0
= x
5
.
y
00
− 4y = 5e
2x
− e
−2x
y
00
− 2y
0
+ y = e
x
ln x
y
00
− y
0
= sin x
y
00
− 4y
0
+ 4y = 8e
2x
˙x = 2x + y
˙y = −x + 4y
y = x
2
x(x − 1)y
0
+ y = x
2
(2x − 1)
6. (1 + y 2 sin 2x)dx − 2y cos2 xdy = 0.
7. x2 y 00 + xy 0 = 1.
8. yy 00 = y 2 y 0 + (y 0 )2 .
1
9. y 00 + 3y 0 + 2y = .
1 + ex
10. 5y 00 + 3y 0 = 3x + 4.
11. y 00 − 9y = sin 3x + 6 cos 3x.
12.
y 00 − 3y 0 + 2y = xe3x .
ẋ = 8x + 4y
13.
ẏ = 12x + 6y
14. Íàéòè êðèâóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó Ì(4, 3) è îáëàäàþùóþ
òåì ñâîéñòâîì, ÷òî óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé ê íåé â ëþáîé
òî÷êå â äâà ðàçà ìåíüøå óãëîâîãî êîýôôèöèåíòà ðàäèóñàâåêòîðà òî÷êè
êàñàíèÿ.
15. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ y = sin 2x ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äèôôåðåí-
öèàëüíîãî óðàâíåíèÿ y 00 + 4y = 0.
Âàðèàíò 27.
2xy
1. y 0 = .
x2 + y2
xy √
2. y 0 − 2 = x x.
x −1
3. y 0 + 2y = e−x .
4. sin y cos xdy = cos y sin xdx.
5. x2 y 0 +√2xy = ln x. √
6. x(1 + x2 − y 2 )dx = y x2 − y 2 dy .
7. yy 00 + (y 0 )2 = 1.
8. (1 + x3 )y 00 + 3x2 y 0 = x5 .
9. y 00 − 4y = 5e2x − e−2x .
10. y 00 − 2y 0 + y = ex ln x.
11. y 00 − y 0 = sin x.
12. y00 − 4y 0 + 4y = 8e2x .
ẋ = 2x + y
13.
ẏ = −x + 4y
14. Íàéòè êðèâóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó Ì(1, 1) è îáëàäàþùóþ
òåì ñâîéñòâîì, ÷òî äëèíà îòðåçêà îñè àáñöèññ, îòñåêàåìîãî ëþáîé åå êà-
ñàòåëüíîé, ðàâíà äëèíå ýòîé êàñàòåëüíîé.
15. Ïîêàçàòü, ÷òî ôóíêöèÿ y = x2 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äèôôåðåíöè-
àëüíîãî óðàâíåíèÿ x(x − 1)y 0 + y = x2 (2x − 1).
19
