Составители:
Рубрика:
Подберем расстояние
b
от отверстия до экрана таким образом, чтобы в отверстии
укладывалось целое число m зон Френеля. Поскольк у фазы колебаний, возбужденные
соседними зонами Френеля, отличаются на
π
, то результирующая амплитуда в центре экрана
(точка Р) будет равна
А
Р
=А
1
- А
2
+ А
3
- А
4
+…
±
А
m
(3)
причем знак «+» соответствует нечетному номеру зоны Френеля (
m
= 1, 3, 5,…), а «-»
четному номеру зоны Френеля (
m
= 2, 4, 6,…).
Представим выражение (3) для результирующей амплитуды в следующем виде:
А
Р
=А
1
/2+ (А
1
/2-А
2
+А
3
/2)+(А
3
/2-А
4
+ А
5
/2)+…+ А
m-1
/2 - А
m
(4)
если
m
– четное
А
Р
=А
1
/2+ (А
1
/2-А
2
+А
3
/2)+(А
3
/2-А
4
+ А
5
/2)+…+ А
m
/2
(5)
если
m
– нечетное
Поскольку зоны Френеля равновелики по площади (амплитуда колебаний
пропорциональна площади зоны), то амплитуду m-й зоны Френеля можно приближенно
записать в виде
А
m
= (А
m-1
+А
m+1
)/2
(6)
Тогда согласно (6) выражения, стоящие в круглых скобках, в формулах (4) и (5), можно
приближенно считать равными нулю, а последние два слагаемых в формуле (4) приближенно
равными
(-А
m
/2)
.
В итоге для результирующей амплитуды в точке Р можно записать приближенную
формулу
А
Р
= (А
1
±
А
m
)/2
(7)
Выясним характер дифракционной картины, получающейся на экране.
Для малых
m
амплитуда
A
m
мало отличается от
A
1
и, следовательно, для четных
m
результирующая амплитуда в центре экрана
A
P
≈
0
, а в случае нечетных
m
A
P
≈
A
1
. Таким
образом, в зависимости от того какое число зон Френеля укладывается в отверстии, в центре
экрана может быть либо минимальная, либо максимальная освещенность.
Сместимся теперь немного относительно точки Р в любом радиальном направлении
вдоль экрана, например, в точку Р
1
. Проведя аналогичные построения зон Френеля для
точки Р
1
, можно убедиться, что в этом случае отверстие будет перекрывать верхнюю часть
m
-ой зоны, одновременно открывая нижнюю часть
m+1
зоны. Тогда, в зависимости от того,
четное или нечетное число зон Френеля укладывалось в отверстии , мы будем иметь
соответственно либо увеличенные, либо ослабленные интенсивности в т. Р
1
. Наконец, в
некоторой точке Р
2
интенсивность достигает или максимума или минимума. При
дальнейшем перемещении вдоль экрана к точке Р
3
интенсивность вновь будет либо
уменьшаться, либо увеличиваться, так как в отверстии дополнительно появится частично
(m+2)
–я зона и частично
(m+1)
–я зона.
Вследствие симметричного расположения отверстия относительно прямой ОР
дифракционная картина, получающаяся на экране, будет представлять собой систему
чередующихся светлых и темных колец.
Подберем расстояние b от отверстия до экрана таким образом, чтобы в отверстии
укладывалось целое число m зон Френеля. Поскольку фазы колебаний, возбужденные
соседними зонами Френеля, отличаются на π, то результирующая амплитуда в центре экрана
(точка Р) будет равна
АР=А1- А2+ А3 - А4+…± Аm (3)
причем знак «+» соответствует нечетному номеру зоны Френеля (m = 1, 3, 5,…), а «-»
четному номеру зоны Френеля (m = 2, 4, 6,…).
Представим выражение (3) для результирующей амплитуды в следующем виде:
АР=А1/2+ (А1/2-А2+А3/2)+(А3/2-А4+ А5/2)+…+ Аm-1/2 - Аm (4)
если m – четное
АР=А1/2+ (А1/2-А2+А3/2)+(А3/2-А4+ А5/2)+…+ Аm/2 (5)
если m – нечетное
Поскольку зоны Френеля равновелики по площади (амплитуда колебаний
пропорциональна площади зоны), то амплитуду m-й зоны Френеля можно приближенно
записать в виде
Аm = (Аm-1+Аm+1)/2 (6)
Тогда согласно (6) выражения, стоящие в круглых скобках, в формулах (4) и (5), можно
приближенно считать равными нулю, а последние два слагаемых в формуле (4) приближенно
равными (-Аm /2).
В итоге для результирующей амплитуды в точке Р можно записать приближенную
формулу
АР = (А1 ± Аm)/2 (7)
Выясним характер дифракционной картины, получающейся на экране.
Для малых m амплитуда Am мало отличается от A1 и, следовательно, для четных m
результирующая амплитуда в центре экрана AP ≈ 0, а в случае нечетных m AP ≈ A1 . Таким
образом, в зависимости от того какое число зон Френеля укладывается в отверстии, в центре
экрана может быть либо минимальная, либо максимальная освещенность.
Сместимся теперь немного относительно точки Р в любом радиальном направлении
вдоль экрана, например, в точку Р1 . Проведя аналогичные построения зон Френеля для
точки Р1 , можно убедиться, что в этом случае отверстие будет перекрывать верхнюю часть
m-ой зоны, одновременно открывая нижнюю часть m+1 зоны. Тогда, в зависимости от того,
четное или нечетное число зон Френеля укладывалось в отверстии, мы будем иметь
соответственно либо увеличенные, либо ослабленные интенсивности в т. Р1 . Наконец, в
некоторой точке Р2 интенсивность достигает или максимума или минимума. При
дальнейшем перемещении вдоль экрана к точке Р3 интенсивность вновь будет либо
уменьшаться, либо увеличиваться, так как в отверстии дополнительно появится частично
(m+2) –я зона и частично (m+1) –я зона.
Вследствие симметричного расположения отверстия относительно прямой ОР
дифракционная картина, получающаяся на экране, будет представлять собой систему
чередующихся светлых и темных колец.
