Автоматизированный логико-вероятностный расчет надежности технических систем. Владов Ю.Р. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

15
2.2.2.2 Метод преобразования узлов сложной конфигурации
Сущность метода заключается в том, что узел сложной конфигурации струк-
турой схемы надежности ТС заменяется на узел более простой конфигурации с
сохранением показателей надёжности преобразуемого узла. При этом структура с
преобразованным узлом упрощается и сводится к классу ППС.
Пусть, например, требуется заменить узел в виде треугольника элементов 12,
23 и 31 на рисунке 2.3 на узел в виде звезды элементов: 1, 2 и 3 при условии, что
вероятность отказа элемента 12 равна q
12
, элемента 23 - q
23
и элемента 31 - q
31
. Пе-
реход к соединению элементов звездой не должен изменять надежность цепей 1-2,
2-3 и 3-1. Условия сохранения показателей надежности рассматриваемых цепей
математически выразятся следующими равенствами:
q
1
+ q
2
– q
1
⋅ q
2
= q
12
(q
23
+ q
31
– q
23
⋅ q
31
);
q
2
+ q
3
– q
2
⋅ q
3
= q
23
(q
31
+ q
12
– q
31
⋅ q
12
); (2.4)
q
3
+ q
1
– q
3
⋅ q
1
= q
31
(q
12
+ q
23
– q
12
⋅ q
23
).
Если пренебречь произведениями малых величин вида q
i
⋅ q
j
в левой части и
вида q
ij
⋅ q
kl
⋅ q
mn
в правой части, то получим следующую систему уравнений:
q
1
+ q
2
= q
12
⋅ q
23
+ q
12
⋅ q
31
;
q
2
+ q
3
= q
23
⋅ q
31
+ q
23
⋅ q
12
; (2.5)
q
3
+ q
1
= q
31
⋅ q
12
+ q
31
⋅ q
23
.
Вычитая из одного уравнения другое, складывая полученное с третьим урав-
нением, и действуя указанным образом по кругу, получаем решение системы
уравнений в следующем виде:
q
1
= q
12
⋅ q
31
;
q
2
= q
23
⋅ q
12
; (2.6)
q
3
= q
31
⋅ q
23
.
При обратном преобразовании звезды элементов в треугольник в соответст-
вии с рисунком 2.4 необходимо найти решение системы уравнений (2.5) относи-
тельно q
12
, q
23
, q
31
.
Из (2.6) имеем:
;
q
q
q
31
1
12
= ;
q
q
q
12
2
23
= .
q
q
q
23
3
31
= (2.7) 
    2.2.2.2 Метод преобразования узлов сложной конфигурации

    Сущность метода заключается в том, что узел сложной конфигурации струк-
турой схемы надежности ТС заменяется на узел более простой конфигурации с
сохранением показателей надёжности преобразуемого узла. При этом структура с
преобразованным узлом упрощается и сводится к классу ППС.
    Пусть, например, требуется заменить узел в виде треугольника элементов 12,
23 и 31 на рисунке 2.3 на узел в виде звезды элементов: 1, 2 и 3 при условии, что
вероятность отказа элемента 12 равна q12, элемента 23 - q23 и элемента 31 - q31. Пе-
реход к соединению элементов звездой не должен изменять надежность цепей 1-2,
2-3 и 3-1. Условия сохранения показателей надежности рассматриваемых цепей
математически выразятся следующими равенствами:

                     q1 + q2 – q1 ⋅ q2 = q12 (q23 + q31 – q23 ⋅ q31);
                     q2 + q3 – q2 ⋅ q3 = q23 (q31 + q12 – q31 ⋅ q12);          (2.4)
                     q3 + q1 – q3 ⋅ q1 = q31 (q12 + q23 – q12 ⋅ q23).

    Если пренебречь произведениями малых величин вида qi ⋅ qj в левой части и
вида qij ⋅ qkl ⋅ qmn в правой части, то получим следующую систему уравнений:

                              q1 + q2 = q12 ⋅ q23 + q12 ⋅ q31;
                              q2 + q3 = q23 ⋅ q31 + q23 ⋅ q12;                 (2.5)
                              q3 + q1 = q31 ⋅ q12 + q31 ⋅ q23.

    Вычитая из одного уравнения другое, складывая полученное с третьим урав-
нением, и действуя указанным образом по кругу, получаем решение системы
уравнений в следующем виде:

                                      q1 = q12 ⋅ q31;
                                      q2 = q23 ⋅ q12;                          (2.6)
                                      q3 = q31 ⋅ q23.

    При обратном преобразовании звезды элементов в треугольник в соответст-
вии с рисунком 2.4 необходимо найти решение системы уравнений (2.5) относи-
тельно q12, q23, q31.
    Из (2.6) имеем:

                          q1           q          q
                  q12 =        ; q 23 = 2 ; q 31 = 3 .                         (2.7)
                          q 31         q12        q 23




                                               15

Страницы