Малые колебания системы с двумя степенями свободы. Власов Ю.Л. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

Вычислим кинетическую энергию этой системы как сумму кинетических
энергий стержня 1 и груза 2.
;
21
T
T
T
+
=
,
2
2
2
2
2
2
..
2
1
22
.
.
=+=
+ zmJ
zm
J
T
D
D
ϕ
ϕ
где φ, z – обобщенные скорости,
J
D
– момент инерции стержня 1 относительно оси вращения,
проходящей через точку D.
Момент инерции
;
2
1
dmJJ
CD
⋅
+
=
где J
С
– момент инерции стержня 1 относительно оси, проходящей через
центр масс стержня, точку С,
d = СD – расстояние от центра масс С стержня до оси вращения D.
d = 1,5ℓ - (1,5ℓ + ℓ)/2 = 0,25ℓ = 0,15 м.
Тогда
.мкг 68,115,08
12
)6,06,05,1(8
12
)5,1(
22
2
2
1
2
1
⋅=⋅+
+
⋅
⋅
+⋅
=⋅+= dm
m
J
D
ll
Кинетическая энергия системы будет иметь вид
,)
..
(
2
1
)
...
2
.
(
2
1
2
22
2
11
2
2212
2
11
ϕϕϕ
azaazazaT +=++=
где коэффициенты инерции:
а
11
= m
2
= 10 кг,
а
12
= 0,
а
22
= J
D
= 1,68 кг·м
2
.
Потенциальная энергия системы складывается из потенциальных энергий
сил тяжести П
1
и П
2
, а также потенциальных энергий деформированных
пружин П
с
1
и П
с
2
, т.е.:
П = П
1
+ П
2
+ П
с
1
+ П
с
2
. 
     Вычислим кинетическую энергию этой системы как сумму кинетических
энергий стержня 1 и груза 2.

                                               T = T1 + T2 ;
                                 .              .                .2       . 
                             JD ϕ    2
                                             m2 z 2       1
                       T =               +            =        J ϕ   + m   z 2 ,

                                2              2          2  D         2    
                                                                              
                                                                             
     где φ, z – обобщенные скорости,
        JD – момент инерции стержня 1 относительно оси вращения,
проходящей через точку D.
     Момент инерции

                           J D = J C + m1 ⋅ d 2 ;
     где JС – момент инерции стержня 1 относительно оси, проходящей через
центр масс стержня, точку С,
         d = СD – расстояние от центра масс С стержня до оси вращения D.

                        d = 1,5ℓ - (1,5ℓ + ℓ)/2 = 0,25ℓ = 0,15 м.

     Тогда
               m1 ⋅ (1,5l + l) 2            8 ⋅ (1,5 ⋅ 0,6 + 0,6) 2
          JD =                   + m1 ⋅ d =
                                         2
                                                                    + 8 ⋅ 0,15 2 = 1,68 кг ⋅ м 2 .
                      12                               12

     Кинетическая энергия системы будет иметь вид

                            1     .          . .       .      1     .         .
                         T = (a11 z 2 + 2a12 z ϕ + a22 ϕ 2 ) = (a11 z 2 + a22 ϕ 2 ),
                            2                                 2

где коэффициенты инерции:
        а11 = m2 = 10 кг,
        а12 = 0,
        а22 = JD = 1,68 кг·м2.
      Потенциальная энергия системы складывается из потенциальных энергий
сил тяжести П1 и П2, а также потенциальных энергий деформированных
пружин Пс1 и Пс2, т.е.:
                               П = П1 + П2 + Пс1 + Пс2.

Страницы