Малые колебания системы с двумя степенями свободы. Власов Ю.Л. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ОГУ | Оренбург

Составители: 

Рубрика: 

П
1
= - m
1
gh,
где h =СD·sinφ,
учитывая, что для малых углов sinφ ≈ φ, получаем:
П
1
= - m
1
g·0,25ℓφ.
П
2
= - m
2
gz.
Потенциальную энергию пружин найдем, рассматривая сначала
перемещение системы из отклоненного положения в положение,
соответствующее недеформированным пружинам, а затем из этого положения –
в положение покоя.
Из рисунка 7 видно, что деформация пружины с
1
от положения
равновесия равна z – h
1
или z – 1,5ℓφ, а с учетом статической деформации:
ε
1
= z – 1,5ℓφ ± λ
cт1
.
Деформация пружины с
2
:
ε
2
= z + ℓφ ± λ
ст2
.
Потенциальные энергии пружин:
,)
11
2
111
2
1
5,1(
2
1
стстc
сzcП
λλϕ
−= ±− l
,)
22
2
222
2
1
(
2
1
стстc
сzcП
λλϕ
−= ±+ l
.)
)
22
2
22
11
2
1121
2
1
(
2
1
2
1
5,1(
2
1
25,0
стст
стст
сzc
сzcgzmgmП
λλϕ
λλϕϕ
−+
+−+−=
±+
±−−
l
ll
±±−++− +−=
111
2
11
22
1
2
121
5,125,2(
2
1
25,0
cтcт
zczсссzcgzmgmП
λϕλϕϕ
lll
Раскроем скобки в выражении для потенциальной энергии:
.
2
2222222
2
22
22
2
2
2
2
1111
5,1
cтстстcтcтcт
ссzсzссczcсс
λ
ϕλ
λ
ϕ
λ
ϕ
λ
ϕλ
−±+
±
+
+
+−± llll
По теореме Лагранжа-Дирихле в положении равновесия при z = 0 и φ = 0
должны выполняться равенства:
.0
0
0
=
=
=
∂
∂
ϕ
z
z
П
;0
0
0
=
=
=
∂
∂
ϕ
ϕ
z
П
                                            П1 = - m1gh,
где h =СD·sinφ,
учитывая, что для малых углов sinφ ≈ φ, получаем:

                              П1 = - m1g·0,25ℓφ.
                                 П2 = - m2gz.
      Потенциальную энергию пружин найдем, рассматривая сначала
перемещение системы из отклоненного положения в положение,
соответствующее недеформированным пружинам, а затем из этого положения –
в положение покоя.
      Из рисунка 7 видно, что деформация пружины с1 от положения
равновесия равна z – h1 или z – 1,5ℓφ, а с учетом статической деформации:

                                           ε1 = z – 1,5ℓφ ± λcт1.

        Деформация пружины с2:

                                            ε2 = z + ℓφ ± λст2.

        Потенциальные энергии пружин:

                                   1                           1
                            П c1 = c1 ( z − 1,5lϕ ± λст1 ) 2 − с1λст1 ,
                                   2                           2
                                   1                         1
                            П c 2 = c2 ( z + lϕ ± λст 2 ) 2 − с2 λст 2 ,
                                   2                         2
                                                1                        1
                   П = −m1 g 0,25lϕ − m2 gz + c1 ( z − 1,5lϕ ± λст1 ) 2 − с1λст1 +
                                                2                        2
                                 1                         1
                              + c2 ( z + lϕ ± λст 2 ) − с2 λст 2 .
                                                     2

                                 2                         2
        Раскроем скобки в выражении для потенциальной энергии:
                                  1
        П = −m1 g 0,25lϕ − m2 gz + (c1 z 2 + 2,25с1l 2ϕ 2 + с1λcт
                                                               2
                                                                 1 − 1,5с1 zlϕ ± c1 zλ cт1 ±
                                  2

    ± 1,5с1lϕλcт1 − с1λcт
                       2
                         1 + c 2 z + c 2 l ϕ + с 2 λ cт 2 + с 2 zlϕ ± с 2 zλ ст 2 ± с 2 lϕλ ст 2 − с 2 λ cт 2 .
                                  2       2 2        2                                                   2


     По теореме Лагранжа-Дирихле в положении равновесия при z = 0 и φ = 0
должны выполняться равенства:
                      ∂П                         ∂П
                               = 0;                       = 0.
                      ∂ϕ z = 0                   ∂z z = 0
                         ϕ =0                       ϕ =0

Страницы